こちらの講演会(「紙一枚からの科学」時枝正先生)を拝聴 冒頭のつかみの話 紙は２次元。３次元を使うと次のような狭いところを通リ抜けさせることができる 紙をある規則で折るのが「折り紙」。ランダムに折るのが「しわ寄せ」。その中間に、自然現象として生…

曲面の曲率は、２つの主曲率で表すことができます 曲面に接する楕球を取って、その最大円と最小円の曲率半径の逆数がです ２つの値で曲率を表現していますが、２つの値の取り方を変えることもあります (ガウス曲率)、(平均曲率)の二つです という関係(制約)…

8.1 Hodge Decomposition 8.2 Homology Generators and Harmonic Bases 8.3 Connections and Parallel Transport 8.4 Vector Field Design

球面を平面に直すとゆがむ 長さと角度の両方を保存して平面化できないことを意味する 長さのゆがみは許容して、角度だけは保存することはできる。共形変換と言う 共形変換は平面を複素平面としてみることで説明することが多い 純虚数は複素平面での1/4回転を…

ラプラシアンと、ラプラシアンを用いた微分方程式であるポアソン方程式について。そしてのその離散版について スカラー場があって、その微分をしてベクトル場にして、そのベクトル場のdivergenceを取ってスカラー場と作りたい 微分形式を使うにしろ使わない…

離散三角メッシュの頂点の法線方向の定義についての章。複数の決め方がある 三角形の面積が法線ベクトルであることを利用して、面積の局所変化(gradient)を用いる方法 埋め込み関数をラプラシアンしたものが平均曲率の大きさを持つ法線ベクトルになることを…

球かドーナツか、などの話しとその離散版の話。今回は(も)省略 4.1 Euler Characteristic 4.2 Regular Meshes and Average Valence 4.3 Gauss-Bonnet 4.4 Numerical Tests and Convergence

3.1 Vectors and 1-Forms ベクトルは向きと大きさを持つもの ベクトルについて情報を取り出す関数があって、それは、ある方向に関するベクトルの成分を返す関数。これが1形式(covector) ベクトルも1形式も向きと大きさを持つので、同じもののようだが、片や…

2.1 曲面の幾何 曲面を考える 曲面を埋め込む関数fがある 曲面を考えるときには、接平面も考える 接平面に含まれる接ベクトルというものもある 接平面に垂直な法線ベクトルというものもある。面には二通りの法線方向が取れるので、どちらを基準にするかを考…

Topics include: curves and surfaces, curvature, connections and parallel transport, exterior algebra, exterior calculus, Stokes’ theorem, simplicial homology, de Rham cohomology, Helmholtz-Hodge decomposition, conformal mapping, finite ele…

テンソルについて整理したので、再度、読み直してみる テキストはこちら 構成 1 Introduction 2 Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry 3 Quick and Dirty Introduction to Exterior Calculus 4 Topological Invariants of Discrete Surfac…

(微分可能な)多様体がある 多様体はつながりを持って広がっている その多様体は曲がっている(かもしれない) ある場所では伸びていて、ある場所では縮んでいるかもしれない 伸び縮みの具合を場所ごとに考えるときには、場所に張り付いたベクトルの長さを気に…

この記事とこちらを中心に 多様体の曲がり具合を表すのは曲率 曲率は、どっちの方向にどんな具合に、曲がるかなので、２次元平面にある１次元多様体である曲線なら、ただのスカラーだが、次元が上がると、向きとその組み合わせについて考慮しないといけない …

「曲がっている」ことを定量する指標やその方法が曲率 Mathworldの説明(の前半)がよい 「曲率」は「まっすぐ」なものと「曲がった」ものとの違いを定量する、というところから始まったが 一般化するにつれて、「曲がっている」ということが複雑であることが…

こちらの続き 曲面を考えるときに大きく２つのことを考える 曲面そのものとその空間配置 曲面そのものとは、布みたいなもの。特に、一部がだるだるに伸びていたり、一部が縮んでしまったような布のこと 空間配置とは、そのだるだる・ひきつれの布を実際に立…

(第１基本形式と第２基本形式)か、(計量gとshape operator)か、(埋め込み関数とガウス写像(法線ベクトル写像))か 離散微分形式の資料２つ(１つ目,２つ目) 上記の２つ目の資料では、第１・第２基本形式に重きを置いていない 結局、曲面の様相記載には、色々な…

曲面論の基本定理 第１基本形式と第２基本形式が両方とも等しい２つの曲面は合同である。合同であるとは、ぴたりと重ね合わせられる、ということ(第１基本形式と第２基本形式を決めているのはを構成する６つの関数である。ただし、６つの関数は、曲面である…

こちらで曲面に関する本をぱらぱらしている 数学の本には、数学らしい書き方があるが、わたしのための理解は、その書き方に沿うとは限らない 曲面の場合は、その色が濃いようなので、わたしのためのメモをする ３次元空間に曲面がある その曲面がどうなって…

ここ数日(数週間？)C++で書かれていて、MATLABにはすぐ連結する(らしい)疎行列ライブラリSuiteSparseを用いて離散微分幾何的アプローチの曲面変形について、調べてきた RにもSuiteSparse準拠の疎行列用パッケージMatrixがあるので、それに連結してみようとい…

こちらでやっている、三角メッシュの変形をなぞって、そのやり方を確認する 変形というのは以下のようなこと(上記リンク先より) 資料はこちらと、こちら、そしてC++ソース(こちら) 入出力 入力 (1) 曲面の情報 (2) 曲面の曲げ方の情報 出力 (3) 入力(1),(2)…

単位円板を共形変換して任意の閉曲線に囲まれた板に変えることをやっている 凸(曲率が大きい)になるところは、単位円板的に疎に、凹になるところは密に対応づけようとしている 少し、立ち返って考え直そう 今、円板がただの円周の紐であって、内部がカラだと…

正負の無限大の曲率を持つ閉曲線としてハート関数を使ってみる # ハート n <- 100000 t <- seq(from=0,to=1,length=n+1) x <- cos(t*2*pi) y <- (sin(t*2*pi)+(x^2)^(1/3)) x <- x[-1] y <- y[-1] plot(x,y) # 最初の点と最後の点の座標は同じなので、その重…

曲線を観察したとする。曲線上の点を多数観察していて、その順序はわかるが、その順序パラメタは、特に弧長などとの整合性はない(のが普通) 曲線を関数解析などしてパラメタ・関数表示をしたところで、その弧長関数は単純な関数表示にはならないのであるから…

circle packingについてこちらに書いた 閉曲線を単位円板に共形変換するとき、閉曲線で曲率が小さいところは単位円板では密に、大きいところは疎に対応するのだった 今、単位円周に密度分布を入れて、それが滑らかな関数であるとする その密度分布を累積する…

曲率っていうのがある 平面上の曲線での曲率を考えよう 曲線の中で一番単純な円を考えよう 円は、円周上のすべての点で、曲率が等しい それをaとおけば、曲率半径はである 曲率っていうのは、曲線上の点における、接ベクトルを考え、その接ベクトルの単位ベ…

平面曲線を共形変換と組み合わせることによって、実軸上の動きを表した駆動関数で定義できるという話がSLE曲線 その曲線の引き方では、共形変換をすることで、曲線の先端では、常に、前方１８０度の視界が開けているというようにすることができる、というこ…

昨日の記事で円による2次元スプライン曲線というのを考えて実装してみた 観測点が疎なときは、スプライン曲線が良いだろう しかし、乱雑項を持って密に観察したときは、「すべての観察点を通る曲線」であるところのスプライン曲線はよろしくない そんなとき…

スプライン曲線というのがある(Wiki記事) 与えられた点を通り、点の間は多項式曲線でつなぎ、点においてk次の微分が等しくなるように(滑らかになるように)多項式係数を調整した曲線のこと これを曲率の考え方、円の考え方に取り込んでみる 2次元平面に順序の…

Cartan for Beginnnersをぱらぱらめくって(昨日の記事)、まずは２Ｄ平面上の曲線を評価しよう 観察点は離散的 十分滑らかとしよう(実観測は、平滑化すれば、『元の正しい曲線』になっているものとしておく) 観察点には座標がある 隣接する観察点の中間点に、…