回転

3次元回転の群

3次元の回転は、単位四元数であらわされる。 これは、方向(単位)ベクトルを軸に、角度の回転に相当する この回転を、をパラメタにして配置すると、ととれば、半径の3次元球(中身の詰まった)に相当する ここで、原点は、回転角が0なので、無回転=何もしな…

4 Orthogonal expansions in curvelinear coordinates ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

1次元での、微小量は パラメタを使うと まっすぐでない座標系 curvelinearな座標系ができて は計量テンソル。はヤコビアン行列 N次元空間微小体積は 円、回転 円や回転には三角関数を使う方法もあるが、うまくパラメタ表現をすれば、四則演算で表現できる N…

3 Strum-Liouville expansions and related transforms ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

物理学では二階の微分方程式で表されるものがとても多い そして『あらゆる 2 階の線形微分方程式は「スツルム・リウヴィル型の微分方程式」に書き直せる』とのこと(こちら) そんな微分方程式を境界条件を付けて解くとき、それが、固有値と固有値に対応する関…

ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

Engineering Applications of Noncommutative Harmonic Analysis: With Emphasis on Rotation and Motion Groups作者: Gregory S. Chirikjian,Alexander B. Kyatkin出版社/メーカー: CRC Press発売日: 2000/09/28メディア: ハードカバーこの商品を含むブログ…

12〜 応用例 ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

12 動き回るロボットにアームがついている。それを使用・操作したら、工場空間のどこにどれくらいの確率でロボットアームが存在するかの密度分布を求める、とか 13 2次元画像解析。標的の形が写っているかどうか。CT写真 14 写真の解析?姿勢認識とか? 15 …

9 10 11 回転関連の群論、ユークリッド移動群の調和解析 Motion groupsのFFT ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

それらが、定義からできるよ 式変形はこうだよ という話

8 群の調和解析 ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

ここから本番 非可換群のフーリエ解析 有限群のそれ コンパクト リー群のそれ コンパクトでない非可換unimodular群のそれ とにかく、1次元実軸での畳み込みとフーリエ変換が群の上に定義できることが示された 結論から言うと次のようになる まず、1次元実数…

2 Classical Fourier Analysis ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

フーリエ級数は、三角関数を重みづけ用の基底関数とする 三角関数は周期関数 周期性を円周上のぐるぐる回りと考えると、「周期的に同じ点」になる。同じ点は同一視することにより、なる、Lの整数倍での商として考えることができる フーリエ変換の畳み込み性…

7 Group theory ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

群論の基礎 順列、行列、個セット、軌道、写像、共役( Class functions。群の要素を複素数に対応付ける関数であって、共役にある群要素のそれが同じであるようなもの 有限群 リー群

6 Rigid-body motion ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

剛体は回転するが、平行移動もする 3次元行列を4次元行列にして表現できる(同次座標系) フルネ-セレ、Moving frameもこの章の対象 閉曲線に関する知見:閉じるとは、動き表現的にどういうことか 『数』の工夫(実数・複素数・四元数)の代わりに"Dual number…

1 Introduction and overview of applications ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

順序が結果に影響する処理の例(非可換) 調和解析。可換と非可換 基本波の線形結合で表す解析 それの基礎には、関数が積分できるかとか、滑らかか、とか、無限遠で十分小さいか、などが大事になることが基礎となっている。その性質は可換な場合に構成されたの…

5 Rotations in three dimensions ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

変形一般と、それに制約を入れたものとしての剛体の運動 剛体の回転を行列で表現する 等長変換であること。そこから得られる固有値制約 Skew-Symmetric行列との関係。外積 回転の合成と行列の積 回転のパラメタ表示、その色々 角座標はその一つに過ぎない 回…

四元数回転を使う

四元数を使って3次元座標の回転をすることができる 3次元単位ベクトルを回転軸として、角の回転は を使って、と計算できる ただし、pは3次元の点(a,b,c)を虚部とした四元数()、はqの共役四元数 今、二つの3次元の点p,wがあり、それを四元数表示しているも…

回転群 SO3のランダムな要素生成

こちらにある通り、4次元空間にあるS3球面上の点に相当する四元数が表す回転がそれである 3つの一様乱数で定まっている。はそれぞれS1 (円)を一様に定める変数。はであるから、(とと)の分布 my.random.so3 <-function(n){ # require(onion) u <- matrix(run…

子供向けにアンパンマンを

『アンパンマンを描いてみよう』 # アンパンマン d <- 3 n.pt <- 2000 X <- matrix(rnorm(d*n.pt),ncol=d) X <- X/sqrt(apply(X^2,1,sum)) librar(rgl) plot3d(X) nose <- X*0.3 nose[,1] <- nose[,1]+1 hoppe1 <- hoppe2 <- X* 0.3 theta <- pi/6 hoppe1[,1…

反り返ってバック奥をラウンドでクリアする

数学セミナーの2013年1月号の特集は被覆 その中に、回転行列が回転群をなし、回転行列は四元数表示ができて、それらと被覆との関係の記事がある その応用例として人体骨格の回転行列表現があった 年明けの「バドミントン大会」に向けて、フォームの研究をし…

回転してきれいにする

こちらで正方行列のQR分解とは『正方行列を回転行列Qと上三角行列Rとに分解すること』であって、『上三角行列Rの列ベクトルについては、個々の列ベクトルのノルムと、列ベクトルのペアのなす角とが与えられたときに、作り上げられるもの』という『意味』を書…

元に戻ってくる

回転行列による変化が続くとき、2次元の回転では、円を描いて、元に戻るけれど、3次元以上では、元に戻るとは限らない。ある大円では、周期t1で戻ってくるのに、別の大円では周期t2で戻ってきて、t1とt2とが「公倍数」を持たなければ、そうなるだろう 周期…

実空間で回る、虚空間で回る。偶数と奇数

前の記事(こちら)で、置換行列の実数乗を考えて、「元に戻る回転」を複合的に作った 実際は、このようにして作った回転の軌跡は、実空間に納まっている場合と虚空間を使っている場合とがある 実空間を使って回れるのは、「軸数が奇数」の場合で、「軸数が偶…

正方行列を適当に作るとき、個の成分を指定できる 自由度が 今、適当に作った正方行列の本の列ベクトルが、線形独立になっているものとするととQR分解できる は正規直交基底でありは上三角行列である という上三角行列は非0の成分の数が個あるから、自由度が…

メモ

こちらに正規直交基底のランダム発生に関するコメントをいただいた こちらやこちらがそのオリジナルリンク コメントからのリンクで、こんな記事あり、そこにこんな論文があり、automatic differentiation(Wikiはこちら(英)とこちら(日)))というものも。

進行方向が巡回するとき

フルネ=セレの行列は、曲線の曲がり具合をパラメタ表示したもの Moving frameの弧長パラメタに関する1次微分 曲線の曲がり具合が曲線に沿って「一定」であるとき、なにかしらの行列を使って と表すことができる。 ただしMは回転を表す行列である 昨日の記事…

進行方向が巡回するとき2

Moving frameを回転する回転行列とフルネ=セレの行列の関係を考える フレネ=セレの行列は 一方、Moving frameを回転させる行列は ここで、回転行列を特異値に分解しとすると となる を十分小さくすれば、回転行列の処理を繰り返しても曲線が描ける このよう…

曲率・捩率…

2年ぶりに再読する『じっくりと学ぶ曲線と曲面』 じっくり学ぶ曲線と曲面―微分幾何学初歩作者: 中内伸光出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2005/09/15メディア: 単行本購入: 2人 クリック: 29回この商品を含むブログ (15件) を見る 2次元曲線は曲率で定義 …

回ること

平面上に円を描いて、その円周上を等速回転するのは、円周上を同一の角速度で移動すること k+1次元球の球面(k次元の閉じた空間)の上ではどうなるだろうか 定義の仕方は色々ありそうだが、回転を表す行列による移動の繰り返しであると考えることとする k+1次…

多分岐を多次元で2

昨日の続き 分岐木を描くときに、伸びてきた枝から、ある回転をk次元空間で起こさないといけない 回転とは、長さkのベクトルを長さkのベクトルに移す行列のこと 正規直交基底行列が回転を表す 正規直交基底行列は、k要素が作るk(k-1)/2ペアに関する回転を合…

粘性 by RY

ものごとが『さらさら』と進まず、周りの影響を受けるとき、「粘性流体」の挙動をとる (ラプラシアン)を用いて と書くのが、ナヴィエ-ストークス方程式 ここで、粘性の係数は、速度の勾配(位置の微分(速度)の微分)で効いているのを表しているのが、の項 さて…

次元を増やす

3次元回転を記述するのに、4変数を使う。 四元数で回転 入門 四元数(クォータニオン)についてはこちらも コンピュータグラフィクスの立場から言うと、次元を増やす場合に限らないけれども、このサイトを閲覧うするもよし