単位四元数 を用いると、３次元空間のベクトルを軸の周りに角$\theta$で回転してできるベクトルは ただし、で得られる。 この回転はもちろん、３x３行列でも表せる 今、とすると、その行列は

３次元の回転は、単位四元数であらわされる。 これは、方向(単位)ベクトルを軸に、角度の回転に相当する この回転を、をパラメタにして配置すると、ととれば、半径の３次元球(中身の詰まった)に相当する ここで、原点は、回転角が0なので、無回転＝何もしな…

四元数を使って３次元座標の回転をすることができる ３次元単位ベクトルを回転軸として、角の回転は を使って、と計算できる ただし、pは3次元の点(a,b,c)を虚部とした四元数()、はqの共役四元数 今、二つの3次元の点p,wがあり、それを四元数表示しているも…

こちらに記事がある 四元数 を実部スカラーと、虚部ベクトルに分ける このときだという Rのonionパッケージには、四元数のログを取る関数log()があるので、四元数qの library(onion) my.exp.q <- function(q,t){ qt <- q *t a <- Re(qt) v <- Im(qt) v.len <…

Rmdファイル 拡充して、こちらに移動 --- title: "球面の変形〜Rで学ぶ曲面の四元数共形変換" author: "ryamada" date: "Saturday, April 04, 2015" output: html_document --- # 球面の変形〜Rで学ぶ曲面の四元数共形変換〜 # 使用するパッケージ一覧 ```{r…

ここ数日(数週間？)C++で書かれていて、MATLABにはすぐ連結する(らしい)疎行列ライブラリSuiteSparseを用いて離散微分幾何的アプローチの曲面変形について、調べてきた RにもSuiteSparse準拠の疎行列用パッケージMatrixがあるので、それに連結してみようとい…

こちらでやっている、三角メッシュの変形をなぞって、そのやり方を確認する 変形というのは以下のようなこと(上記リンク先より) 資料はこちらと、こちら、そしてC++ソース(こちら) 入出力 入力 (1) 曲面の情報 (2) 曲面の曲げ方の情報 出力 (3) 入力(1),(2)…

３次元空間に埋め込まれた２次元多様体としての滑らかな平面について考える 曲面上の四元数関数 曲面上の点に四元数を与えることで、次の３要素を相互に独立させて表現できる (1)実数スカラー (2)接平面上の２次元ベクトル (3)法線方向ベクトルの長さ 曲面上…

ちょっとごちゃごちゃしているけれど、備忘録代わりにepub化しておく 曲面の接面・法線的扱い、その四元数処理、共形変換の最小二乗法的扱いなどについて これとこれが基礎資料 曲面への共形変換マッピング?複素数・四元数のそれぞれで最小二乗法?作者: ryam…

３次元空間の点に対して、その法線ベクトル(Nx,Ny,Nz)があるときに、この点に対して、4x2行列を考え、これを対角成分として並べた、(点の数ｘ４)ｘ(点の数ｘ２）行列をEとする 三角形面について、その面の接平面を張る正規直交基底(二つの三次元ベクトルを(X…

四元数が曲面上のスカラー・ベクトル場の扱いに都合がよいのは前の記事 それと外積代数との関連は、というと： ０形式としてのスカラー、１形式としての３次元ベクトル、それを二つ組み合わせてクロス積をとると２形式 ３次元ベクトル(p,q)とそれを純虚四元…

曲面の四元数関数を置こう 実部＋虚部に分ける 実部が曲面上の実関数 虚部はさらに２次元＋１次元に分ける 虚部の２次元を接平面上のベクトルに 虚部の最後の１次元を法線ベクトルの長さに割り当てる こうすること、曲面上にスカラー関数とベクトル関数とを…

３次元空間のその「３次元」は四元数の３虚成分と相性がよく、３次元コンピュータグラフィクスなどでも頻用する それを３次元中にある２次元曲面多様体のDEC処理に使う、と言う話がある まず、四元数関数を用いると、それ自体が複数要素からなっているので、…

パッケージonion 実数・虚数とも同様に扱われる install.packages("onion") library(onion) # 基本４要素 H1 Hi Hj Hk H1-1 Hi-1i Hi*Hj Hj*Hk Hk*Hi Hi*Hj*Hk > H1 [1] Re 1 i 0 j 0 k 0 > Hi [1] Re 0 i 1 j 0 k 0 > Hj [1] Re 0 i 0 j 1 k 0 > Hk [1] Re …

この本はよい！ 行列・代数・複素数・四元数などについて大まかにわかった上で、それらの相互関係をギュッとまとめるのによいです キーポイント行列と変換群 (理工系数学のキーポイント (8))作者: 梁成吉出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 1996/11/25メディ…

昨日の記事で、四元数のフーリエ変換が有用そうであり、そのためにはクリフォード代数というものが出てくることがわかった というわけでクリフォード代数を確認する(こちら) クリフォード代数とは n次元のとき、という、いわゆる正規直交基底の単位ベクトル…

三次元の物体とその動きのシグナルをフーリエ変換でスペクトル分解しようとすると、座標の取り方に依存するのが気持ちがわるい 球体を扱って、球体表面に滑らかな凹凸を入れようとする場合なども球面調和関数の軸非対称性とかが気持ち悪い 四元数で扱うと、…

幾何学と代数系 Geometric Algebra -ハミルトン,グラスマン,クリフォード-作者: 金谷健一出版社/メーカー: 森北出版発売日: 2014/07/30メディア: 単行本この商品を含むブログ (4件) を見る 曲面を描くために射影幾何をあれやこれややり続けるのに疲れたので…

『アンパンマンを描いてみよう』 # アンパンマン d <- 3 n.pt <- 2000 X <- matrix(rnorm(d*n.pt),ncol=d) X <- X/sqrt(apply(X^2,1,sum)) librar(rgl) plot3d(X) nose <- X*0.3 nose[,1] <- nose[,1]+1 hoppe1 <- hoppe2 <- X* 0.3 theta <- pi/6 hoppe1[,1…

多次元視覚のことをやっている(こちら) そうすると、視覚で取った情報から各点の微分に関する情報を取り出して、それによって対象を理解しようか、という話になる じゃあ、ということで多様体上の微分のことが気になるのだが、そこには「球は球でも微分の状…

数学セミナーの2013年1月号の特集は被覆 その中に、回転行列が回転群をなし、回転行列は四元数表示ができて、それらと被覆との関係の記事がある その応用例として人体骨格の回転行列表現があった 年明けの「バドミントン大会」に向けて、フォームの研究をし…

四元数、八元数については、こちらにメモした 日経サイエンス 2011年 08月号 [雑誌]出版社/メーカー: 日本経済新聞出版社発売日: 2011/06/25メディア: 雑誌購入: 1人 クリック: 12回この商品を含むブログ (2件) を見る ここに八元数(と超ひも理論)の記事があ…

３次元回転を記述するのに、４変数を使う。 四元数で回転 入門 四元数(クォータニオン)についてはこちらも コンピュータグラフィクスの立場から言うと、次元を増やす場合に限らないけれども、このサイトを閲覧うするもよし