複素平面に無限遠点を加えたリーマン球面での多価関数の視覚化の準備として、球面に色を塗ってみる 経度を色相に、緯度を明度に

球面上の点が与えられたときに、球面の3点が張る三角形の内部にあるかどうかを判定しよう

平面グラフは球面と同相 平面グラフのグラフ距離を球面の測地距離に合わせる(合わない残差は潔く捨てる)、という作戦で貼り付けてみる

球面にスカラー場があって、離散観察をしたとする その場は非負、総和が1 球面の点の間には測地線距離(角)が取れる メトリックスペースに非負総和１分布があれば、その間にWasserstein 距離が定まり、最小運搬コスト運搬行列も定まる pythonのPOTパッケージ…

任意次元(次元d)の空間に単位球面があり、その上に2 このn個の点が作る「角度」を考える d=n=2の場合は、普通の意味での角度であって、と言うように内積を取ればよい d=n>2の場合は、n点が作る球面n角形(球面n頂点多面体)の「内側」の球面部分面積の、球面全…

単位球面S2を考える S2上の任意の２点x,yについて、その２点を通る大円を定める 今、x,yの順序を考慮するとき、この大円は方向を持つ 方向を持つ大円は球面を進行方向右側半球面と進行方向左側半球面とに分ける 球面上の第３点zはこの大円上の点であるか、左…

オイラー三角化グラフができたら、三角形の列挙がしたい こちらにあるように行列操作でそれができる やってみる plot(g) ad <- as.matrix(get.adjacency(g)) E <- ad E[lower.tri(E)] <- 0 g <- graph.adjacency(E) #plot(g) #el <- get.edgelist(g) S.list …

づらづらと書いたけれど、今いちなので、その記事は下の方に回して、以下の作戦でやってみる generating spherical eulerian triangulationというタイトルの短い論文によれば シンプルな無向グラフの場合に限るらしいのだが すべての球面に埋め込まれたオイ…

ネタ文書はこちら イントロに入る前のイントロ 球面にグラフが張り付いているとする グラフをたどる距離「グラフ的距離」というものがあるので、球面のうちグラフのノード間には「グラフ的距離」が定まる グラフを密にしていけば、その極限では、球面上のす…

三角形で埋め尽くす。すべてのノードは次数が偶数 北極・南極の周りに６つの三角形を置く すべての頂点の次数を６にする すこしゆがむがまあまあになる そこから、三角形を３辺の中点で４分割していくと、そのような細かい分割ができる theta <- (0:11)/12*2…

曲面変形を基本形の球から、とすると、いろんな細かさの球面メッシュがほしい。自作する。 my.sphere.tri.mesh <- function(n.psi=30){ thetas <- list() psis <- seq(from=-pi/2,to=pi/2,length=n.psi) d.psis <- psis[2]-psis[1] hs <- sin(psis) rs <- sq…

二次元のアメーバ運動っていうのは、球面上のランダムフィールドのある他ｋさ平面での切り口としてパラメタライズすることができるのではないだろうか… それができれば、次元を一般化することも、たぶん容易だろう でも、それをやるくらいだったら、自身の荷…

昨日の記事で高次元結び目と絡み目のPDFをぱらぱらめくった 自分なりの言葉で整理しなおしておこう 結び目(knot)と絡み目(link) n-結び目とは、n+2次元空間にあるn次元の「閉じた多様体」の存在状態 1次元多様体である線が単純に2次元空間で閉じると円。単純…

今日は円と球に関する積分の話から n次元球の表面積と体積がと関係していること 立方体の表面積と体積、正単体の表面積と体積とも同様であること それがわかりやすいのは、立方体と正単体とが球に外接する場合であること などをやりました また、球の体積は…

参考１ 参考２ # Nは乱点の数を決める引数 # f1 は黄金比の値をデフォルトとする値。この値を黄金比から変えると格子としての良い性格がなくなる # k=1をデフォルトとし、フィボナッチ格子を描くためにはk=1。ただし、その背景にあるらせんを描くためにはこ…

エキゾチックな球面 (ちくま学芸文庫)作者: 野口廣出版社/メーカー: 筑摩書房発売日: 2010/08/09メディア: 文庫 クリック: 17回この商品を含むブログ (15件) を見る 1. イリノイにて トポロジーにまつわる数学者 2. アルプスの山々 標高関数、トーラスの標高…

昨日球面と球面の直積としてエキゾチックな球面ということを書いた 球面と球面の直積っていうのは、「普通の多次元球」を描いて、その球面上の点の上に別の次元を使った球面を描くような感じ もっと次元を下げれば、いわゆるドーナツ型トーラス これを上半、…

2x2分割表は、行の和と列の和が固定されたもの 2x2の４要素をx,y,z,wとしてのような４要素はどんなもの？ 4要素の「期待値」はだろうか という４次元球面上の点で、「分割表的な制約」は、球面に制限を入れて、４次元球面上の１次元多様体(曲線)が「取り得る…

球の分裂に関するバナッハ=タルスキーパラドクスに端を発した球の分裂 その新規の球の由来が元の球から均一にとられているのかどうかを評価するには、球面上で度数分布がとりたくなる そのために球面上の度数分布をとるときのタイルの配置の仕方とそのカウン…

昨日は球の分裂からの派生で円形・球面の度数分布について書いた そのとき、半径の広がりに応じて、指数関数的にセルを増やすことにしたのだが、よく考えたら、それは変 タイリングなので、正六角形の埋め尽くし、とかが適当。球面なら、サッカーボール型か …

昨日は球の分裂について書いた 分裂の均等性・不均等性を議論するには、分裂後の球に引き継がれた点の分布を球面上で評価しなくてはならない そのために球表面の分布が取りたい 球表面をどんな風に分割するのがよいだろうか、と考える こんなことを考えたこ…

選択公理というのがある それに関連してバナッハ=タルスキーのパラドクスというのがある 球を２つに分ける話 分けるからには、ある点はどちらか片方の球にしか属していなくて ２つに分けたそれぞれは球である これは、バナッハ=タルスキーのパラドクスの本質…

Levy過程とつながる話し(Levy過程はこちらでも) 医療診断学ともつながる話(こちら) ホワイトノイズと回転群は関係づけられているらしい 無次元球も 調和解析も どこまで行っても直線にならないブラウン運動を微分…ラプラス変換 ラプラス変換のメモ(こちら)も…

球面を平面に投影する仕組みとしてオーサグラフというやり方(商品)がある AuthaGraph オーサグラフ 世界地図こちらのサイト 球を正四面体に投影するというやり方で平面化する いかにも、真似して『やりたく』なるタイプの美しい方法である ３次元球の表面で…

気になるExotic sphere Wiki 日本語説明 その他リンク

こちらで、多次元の球面三角形の面積をモンテカルロで算出している 角座標から普通の球の球面三角形の面積を出すとしたらどうなるかをやってみる 結論から言うと、すごく汚い式の積分になるようなので、「方針が間違っている」と思う 簡単のために、の３点が…

昨日の続き 多次元球座標の関数と多次元トーラスの関数を別々に書いた 統一して書くと以下のようになるらしい k次元トーラス、k次元球の場合には、「角」の変数がk-1個必要なのは、トーラスも球も同じで、座標の増やし方の部分で ret<-k*ret+C[i]*incr とい…

こちらの続き 複素関数を用いた周期データの変数表現があった 複素数は２つの実数からなる(実部と虚部) 複数の実数に関する回帰・最適化問題は、いろいろなやり方がある 掲載図はoptim()関数を使ってみた例 緑が理論値、黒が実測値(理論値からのずれを正規分…

k次元 固有値の数がk個 すべての固有値はノルムが１の複素数だから、k個の角パラメタを用いて と表せる ノルムが１の複素数k次元ベクトルがk個 ノルムが１の第j番目の複素数k次元ベクトルは、を満足する実変数と、k個の角変数を用いて 上の記事のように、をk…

こちらの続き k次元の複素数ベクトルのノルムを１にするために、なるを作りたい データをうまく説明するように変数を回帰推定するためには、うまく取り扱いたい 多次元極座標を用いて行うことにすれば、以下のように。。。 k<-3 # 次元 v<-runif(k) sphereCo…