2016-07-18

2 Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

ぱらぱらめくるシリーズ離散外微分曲線曲面曲率接続平行移動外積代数外微分ストークスの定理 simplicial homology de Rham cohomology Helmholtz-Hodge decomposition conformal mapping

2.1 曲面の幾何
- 曲面を考える
- 曲面を埋め込む関数fがある
- 曲面を考えるときには、接平面も考える
- 接平面に含まれる接ベクトルというものもある
- 接平面に垂直な法線ベクトルというものもある。面には二通りの法線方向が取れるので、どちらを基準にするかを考慮する必要がある。面に向きを定めることで、法線の向きが定まるから、面の向き付け、という概念がある。面によっては向き付け不能なものもある
- 接ベクトルは埋め込みfによって長さが変わる
- 長さを変える「関数」をgとする
- 向き付け可能な曲面の場合、法線単位ベクトルが定まるから、曲面の各点を球S2にマップすることができる
- 2.1.1 共形座標
2.2 Derivative(導関数)と接ベクトル
- いわゆる関数を微分して得られる傾きは、曲がった空間では局所の(接ベクトルの)伸び具合に相当する
- 2.2.1 実曲線の導関数
  - 実数パラメタxに関する $y=\phi(x)$ という関数があったときに $\frac{d \phi(x)}{dx}$ というのは、関数を図示したときの傾き
  - これを１次元のままで、「速い」ところは「長い」ように伸び縮みさせる。これが、１次元物体を伸び縮みさせて作る『曲線』。xという数直線上に張り付いている
  - １次元多様体の伸び縮みは、局所の伸び縮みを表す１次元ベクトルになっている
- 2.2.2 Directional Derivatives (ある方向を定めたうえでの導関数)
  - ２次元平面の各点に値を与えて３次元曲面を作ると、その各点について、ある方向への導関数が定まる。その伸び具合で、２次元曲面がその方向に「伸びている」と考えると、同様に曲面の局所の伸び具合が、方向ごとに定まることがわかる
2.3 曲線の幾何
- 実数直線を場所ごとに伸び縮みさせて曲線を作るという話をしてきたが、曲線の長さを基準にしてパラメタを振ることができて、それも便利(弧長パラメタ)
- 2.3.1 曲線の曲率
  - 弧長パラメタで空間に置かれた曲線を考えるとき、曲線の進行方向の単位ベクトルを正規直交座標系の基底の一つとしてとることができる。こうすると、この基底ベクトルのセットが曲線に沿って動いていくことになる
  - １つの基底は曲線の接線方向、２つ目は、接ベクトルの変化方向、３つ目はそれらに直交するものとする
  - この３つ目が、曲線の局所における法線方向になり、この法線方向ベクトルの変化を追うと、それは接面上のベクトルとなる
  - したがって、正規直行基底の変化を接平面内のベクトルとして表現できる
  - この正規直行基底の変化を線形代数的に表したものがフルネ=セレの式で、曲率、捩率を成分に持つ行列が登場する
- 2.3.2 曲率の視覚化
  - 曲線の局所を円に近似できる。その円の半径が曲率半径、その逆数が曲率
2.4 曲面の曲率
- 曲面をある点とその法線とを含む面できると、そこには曲線があらわれ、接する円が取れるから、この断面に対して曲率が定まる
- 2.4.1 主曲率、平均曲率、ガウス曲率
  - 断面曲率として最大のものと最小のものが取れる。この２つが主曲率
    - ２つの主曲率方向の接ベクトルは相互に直交
  - その算術平均が平均曲率
  - その積がガウス曲率
- 2.4.2 第１、第２fundamental forms
2.5 座標系の幾何
- ２次元座標表現されている局所において、ある方向のベクトルが埋め込みによってどれだけ伸縮するかを表すのが、方向偏微分成分で表されてたヤコビ行列
- 2.5.1. Coordinate Representations Considered Harmful
  - 座標変換はやっかい
  - やっかいさの主原因は変換と同じような変換をするベクトルと逆のベクトルがあってこんがらがるから(共変と反変)
  - それを扱うときに第１形式とか双対ベクトル空間とかが出てくる
- 2.5.2. Standard Matrices in the Geometry of Surfaces
  - 曲がっている具合を表すのに、曲率を使うか、リーマン計量を使うか、fundamental formsを使うかということになるが、それらは、曲がり具合を表すための道具立てであるから、相互の関係を表す諸式がある