平滑化の一般的な手法として、Hanning filterを掛ける畳み込みをやってみる c(1,2,1)/4 なるフィルタを使った畳み込みを実行するフィルタリング関数Han() を作り、それによる畳み込み平滑化。convolve()は高速フーリエ変換を使っている。 n <- length(w[,1])…

パイソンやって、球面調和関数が簡単になったので、その先の球面の直交分解・フーリエ変換について調べもの 資料１ 資料２ 資料３ 資料４ 資料５ 資料６(水素原子の波動方程式) 資料７(偏微分方程式と確率過程) データ解析的な面から、少しまとめてみたのが…

高速フーリエ変換 from scipy.fftpack import fft, ifft # 周期性データを作る n = 1000 # 点の数 t = np.linspace(-1,1,n) * 5*np.pi # 時刻点 k = 50 # 重ね合わせる周期関数の数 # a cos(bt+c)の係数a,b,c a = np.random.randn(k) b = np.random.randn(le…

三次元の物体とその動きのシグナルをフーリエ変換でスペクトル分解しようとすると、座標の取り方に依存するのが気持ちがわるい 球体を扱って、球体表面に滑らかな凹凸を入れようとする場合なども球面調和関数の軸非対称性とかが気持ち悪い 四元数で扱うと、…

その２の行列を引き受けつつ、PCAにて、軸変換によるデータマイニングに触れ、その流れでフーリエ変換という「視点変換」に触れ、「単純な処理」としての2法に対して、非線形という「別世界」の話題提供 Rmdファイルです。html化、epub化できます(やり方はこ…

と書ける、unityのprimitiveなd乗根を用いた多項式環っていうのは、フーリエ変換のように見えてくる(周波数を変えて周波数成分に分解すること) だから、巡回群のなす作用は(0,1,0,...,0)を第２列とする基本的な巡回群行列とそのべき乗を基本構成要素としてフ…

昨日まで、延々と正単体・順列、フーリエ変換、複素数などをいじってきた このくらいあれこれやっておけば、『巡回群のフーリエ変換』を扱った文書を読んでも大丈夫だろう…ということで： まずこちらは、時系列２次元画像の補間をするのに巡回群の行列を用い…

「体」の話だけれど「多項式『環』」という表題。体と環は違うけれど、「どっちは何で、こっちはこう」とわかったつもりで、自由に行き来してもよい範囲なら、ま、いいから加減に書いても「正しくわかっているひと」は大丈夫だし、「よくわかっていない人は…

巡回群の性質から、群Gとその双対群の要素たちは、それぞれの生成元を用いて、と書ける。今、という関数(双対群の要素は群の要素を体の値に変換する関数)をに適用してという体F(複素数だと思っておこう)上の値になるとする。 それをと書く。 ここでこのは1の…

『局所コンパクト可換群の双対群は抽象版のフーリエ変換が定義される空間として導入された』とWikipediaのポントリャーギン双対の記事にあるように、群のフーリエ変換を考えるときには群の双対のことをわかっている必要がある ごく大雑把に言うと、ある世界…

少し整理して書き直し この関数はどういう関数か、というと 周期的 d=2,3,4,...と任意の２以上の自然数の関数の組であって、すべての関数が周期的 そのすべての関数の位相のずれは、ずつ この関数の実数成分は１周期をd等分してそこの範囲で大きな値をとり、…

昨日の記事で正単体の頂点を巡る「回転」運動のことを書いた 出来上がる「『三角』関数」は周期関数で、頂点数の関数が相互に「頂点数対称」になっている これを実データから読み取るときは、それほど苦労せず、個々の要素の周期性をスペクトル分解(フーリエ…

一昨日の記事で、n変数をn+1次元空間の円運動で表現する、という話をした たとえばロトカ-ヴォルテラに、変数別の周期性が入っているようなデータがあったときに、多変量フーリエ変換をして、その結果を個々の変数ごとに評価する場合と、２変数のスペクトル…

聴覚情報は１次元 音色は周波数の異なる波の複合として表現される 耳は入ってくる聴覚情報を周波数ごとに反応する・しないがわかれるパーツでのシグナルに変換するが、これはフーリエ変換(周波数変換そのもの) 参考：こちら １次感覚器がフーリエ変換しなく…

一昨日、１変数関数のフーリエ変換は、複数の円運動の和に分解することと書いた 多変数関数のフーリエ変換を考えよう 複数の円運動がn+1次元空間で起きていて、それをn次元空間に投影すると考えることができそうだ まず、２次元から ２次元で同周期の円運動…

昨日の記事でフーリエ変換の基礎処理についてメモした その線でフーリエ変換がやっていることの「物理的」解釈をしてみよう 関数がある範囲に収まっているものとして、「濃度変化」であるとみなすことにする 濃度が0-1の範囲であるところをスケール調整して(…

フーリエ変換は三角関数と「合うか合わないか」を数値にする 三角関数と合うか合わないかは、周波数と位相とをずらして色々試してみればよい 色々試してみる、というのは、対象の関数と三角関数との「内積」を取ればよい 関数同士の内積を取るところは「畳み…

ここしばらく、フーリエ変換、スペクトル分解、情報縮約などをやっている 群でのフーリエ変換など、フーリエ変換の概念の一般化がどうしても関連してくる ポントリャーギン双対というのに行き着いた Wiki(こちら)によれば 実数直線上の素性の良い複素数値周…

ラボローテーションの話題 フーリエ変換：スペクトル分解 有限群にも(それを一般線形群へと表現しなおした上での)フーリエ変換、行列にもフーリエ変換 行列や群は「数」の概念が拡張されたもの 物事を観察するということは、数を観察することであるとすれば…

今日は畳みこみ ヒストグラムは離散的にパルス関数で畳み込んだようなもの カーネル密度推定は適当な関数で畳み込んだようなもの いくつかのサイトを やはり一番、東北工業大学中川先生の「人生畳みこみ」 畳みこみを２次元座標で 物理のかぎしっぽ：相関関…

まずは１次元離散点をディラックの櫛関数としたうえでその離散フーリエスペクトル化 # 地道にフーリエの式通りに指数関数の複素数乗で計算 my.frie <- function(z,x){ ret <- rep(0,length(x)) for(j in 1:length(z)){ ret <- ret + exp(-2*pi*1i*z[j] * x) …

テキストはこちら 結構大変そう… 1. イントロ 準結晶を考えるときに、タイリングという考え方と点集合という考え方の２面がある Delone setとして対称を捉える 点の集合 Uniformly discrete(uniform minimal distance between the pointsが１個ある Relative…

２次元平面に線画があるとする。一筆描きでもよいし、線の本数は複数のこともあるだろう そんな線画を表す関数を作りたいとする。一つの関数にしたいという 線に沿って、x座標とy座標とを離散的にサンプリングしてやれば、媒介変数で結びつけられた２つの関…

、たとえば、３SNPが作る８ハプロタイプのようなもの その８ハプロタイプの頻度を と書くことがある ハプロタイプには存在するものと存在しないものがあるので、には0のものもありえる このを のような感じで、正負のパターンを網羅して、別の8つの変数の組…

昨日の続き 余談：Haskellは畳み込み関数foldl(),foldr()を持っていた(こちらとか、こちらとか) # 離散データ # 補間する(補間方法はいろいろあり得る) # 保管した結果、regularly sampled discrete time seriesとなったので # それらについて、離散フーリエ…

２つの関数関係を表すものに相関関数がある 内積の拡張であるという(こちら) ２つの有限長のベクトルの内積を、有限長のベクトルの長さの平方根の積で割ると、２つのベクトルのなす角のコサインになる 相関関数の場合も、２つの関数の相関関数を、それぞれの…

ここの話しの続き 資料はこちら 総期間、サンプル数、サンプル番号、サンプリング時刻(Regular samplingの場合は)、時刻での観測値 は虚数単位 Regular sampling IRRegular sampling ２式の違いを強調した表示 Regular sampling IRRegular sampling Regular …

こちらで時系列データの相関についてコメントしている 関数の似ている程度の評価方法 である ベクトルの内積の無限長版である 拡張すると相互相関関数(Cross correlation(Wiki))というものがある タイムラグが入って、の関数になった これが相互相関関数 相…

２次元を例に 分布(たとえば正規分布)の重なりとして推定する Rの関数bkde2D()の中身を追いかけよう ２次元プロットデータを作る Npt<-300 x<-y<-rep(0,Npt) r<-10 for(i in 1:Npt){ t<-runif(1)*2*pi/1 r2<-r*(sin(t*200)+10)+rnorm(1)*0.1 x[i]<-r2*cos(t)…

資料 資料のソースをRに書き換えるとfft()の結果と同様の結果になる x<-seq(from=0,to=2*pi,length.out=100) z<-cos(2*x)+2*cos(5*x) par(mfcol=c(2,2)) plot(z,type="l") y<-fft(z) plot(Re(y),type="l") plot(Re(y[1:10]),type="l") a<-fft(y, inverse = T…