外微分

「代数」「幾何」のためのメモ

こちらで非可換幾何学の本をぱらぱらめくっている 多様体・空間・幾何を可換/非可換代数と結びつける話なのだが、K-理論の辺りで、どうにもわからなくなる どうにもわからない、というのは、出てくる術語の一つ一つがどういうことだったのかがわからないし、…

9 Conclusion またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

8 Vector Field Decomposition and Design またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

8.1 Hodge Decomposition 8.2 Homology Generators and Harmonic Bases 8.3 Connections and Parallel Transport 8.4 Vector Field Design

7 Surface Parameterization またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

球面を平面に直すとゆがむ 長さと角度の両方を保存して平面化できないことを意味する 長さのゆがみは許容して、角度だけは保存することはできる。共形変換と言う 共形変換は平面を複素平面としてみることで説明することが多い 純虚数は複素平面での1/4回転を…

6 The Laplacian またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

ラプラシアンと、ラプラシアンを用いた微分方程式であるポアソン方程式について。そしてのその離散版について スカラー場があって、その微分をしてベクトル場にして、そのベクトル場のdivergenceを取ってスカラー場と作りたい 微分形式を使うにしろ使わない…

5 Normals of Discrete Surfaces またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

離散三角メッシュの頂点の法線方向の定義についての章。複数の決め方がある 三角形の面積が法線ベクトルであることを利用して、面積の局所変化(gradient)を用いる方法 埋め込み関数をラプラシアンしたものが平均曲率の大きさを持つ法線ベクトルになることを…

4 Topological Invariants of Discrete Surfaces またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

球かドーナツか、などの話しとその離散版の話。今回は(も)省略 4.1 Euler Characteristic 4.2 Regular Meshes and Average Valence 4.3 Gauss-Bonnet 4.4 Numerical Tests and Convergence

3 Quick and Dirty Introduction to Exterior Calculus またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

3.1 Vectors and 1-Forms ベクトルは向きと大きさを持つもの ベクトルについて情報を取り出す関数があって、それは、ある方向に関するベクトルの成分を返す関数。これが1形式(covector) ベクトルも1形式も向きと大きさを持つので、同じもののようだが、片や…

2 Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

2.1 曲面の幾何 曲面を考える 曲面を埋め込む関数fがある 曲面を考えるときには、接平面も考える 接平面に含まれる接ベクトルというものもある 接平面に垂直な法線ベクトルというものもある。面には二通りの法線方向が取れるので、どちらを基準にするかを考…

1 Introduction またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

Topics include: curves and surfaces, curvature, connections and parallel transport, exterior algebra, exterior calculus, Stokes’ theorem, simplicial homology, de Rham cohomology, Helmholtz-Hodge decomposition, conformal mapping, finite ele…

またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

テンソルについて整理したので、再度、読み直してみる テキストはこちら 構成 1 Introduction 2 Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry 3 Quick and Dirty Introduction to Exterior Calculus 4 Topological Invariants of Discrete Surfac…

外微分・全微分メモ

微分するときに、ある方向を気にしながら微分することを偏微分という 方向がきれいなときは、これもよい 平らな世界だと、方向を直交基底でとったりそれを回したりして使いまわすことも簡単 平でない世界だと、特定の方向を気にして偏微分したり、それを足し…

閉多様体 微分形式 外微分 閉形式・完全形式 ストークスの定理

色々ある。入り口をどこにするかも選べる話題である。 微分可能多様体から入ることにする 微分可能多様体 空間に滑らかな物体を考える。3次元空間におかれた曲面は2次元多様体であって、滑らかなので微分可能な2次元多様体 曲面を球体のように閉じると、…

外微分・「外積分〜codifferential」・シャープにフラット

n次元空間にスカラー場がある 正規直交基底を取って、n方向に偏微分すると、係数はとなり、これは、n次元のベクトルと見える。勾配gradientとも言う 単位ベクトルを使えばと書けて、もちろんベクトル ここで、単位ベクトルの代わりに、という、紛らわしいけ…

私のための微分幾何の周辺

キーワードに挙げた諸単語がなんだかごちゃごちゃしていて落ち着かない わかる範囲で整理する 参考サイトは、 この微分形式。こちらもいろいろな資料へのリンクがあってよい このDiscrete Exterior Calculus 誤解していそうだけれど、とにかく、定着させない…

離散外微分パッケージdgpdecを使う

昨日の記事でpythonのDECパッケージを使ってみようとして挫折したが、openソースをsubversion ツールでとってくる、という技を身につけたので、C++をとってくることにする ここが元サイト(そもそもこのサイトの文書を読んでDECをやろうとしたのに、C++よりpy…

離散外微分パッケージpyDECを使う

昨日の記事でpythonをEclipse上で使いつつ、pyDECなる離散外微分パッケージを利用するための環境設定は終わったので、使ってみることにする こちらがpyDECの紹介文書なので、まずはそれを 何をどう扱うか n-単体(四面体の多次元おばけ)とn-立方体とを扱いつ…

python,pyDev,pyDEC〜3次元画像のために

資料はこちら 簡単に言うと「3次元描図をするのに、外微分(EC:Exterior Calculus)の概念を使うと便利。平滑化・パラメタ表現・面上のベクトル場と言った基本処理が数行で表せるから。単純なポアソン方程式を解くと言ったことをすることになる。特に、外微分…