３次元空間の点に対して、その法線ベクトル(Nx,Ny,Nz)があるときに、この点に対して、4x2行列を考え、これを対角成分として並べた、(点の数ｘ４)ｘ(点の数ｘ２）行列をEとする 三角形面について、その面の接平面を張る正規直交基底(二つの三次元ベクトルを(X…

３次元空間のその「３次元」は四元数の３虚成分と相性がよく、３次元コンピュータグラフィクスなどでも頻用する それを３次元中にある２次元曲面多様体のDEC処理に使う、と言う話がある まず、四元数関数を用いると、それ自体が複数要素からなっているので、…

三角形の外接円は３辺の垂直二等分線の交点で、もちろん、その中心から３点への距離は等しい これを三角形の一般化である単体に一般化したものが、circumcenter このcircumcenterはDEC(離散微分幾何)において、便利 たとえば、三角形分割・単体分割を細かく…

基礎体力作りは必要だったけれど、やっぱり、ある程度の整理がついたあとに読んでわかりやすいのはこれだろう C++ベースのアプリもある(こちら)。Windowsでインストールしようと思ったが、難航…。Macなら行けそうなのでしばし保留 ぱらぱらめくるDIGITAL GEO…

接ベクトル空間で見るとどうなるか、とか、「見方の切り替え」を使って、対象の情報のうちの異なる側面を取り出したりする話 わかった感じがするので、はやくC++のパッケージを動かしたい！

座標系をどうするか ある意味で技術的な話

Laplace方程式はPoisson equationの特殊型。Poisson equationは2階の楕円型偏微分方程式で、解きたい場合がしばしば出てくる 局所について基底関数の線形和で近似する方法(finite element method (FEM))を使うこともある。これは偏微分方程式の離散化の方法…

滑らかでないと法線方向の定義に工夫がいる。たとえば凸包の頂点における法線方向はどこか？ 曲率や体積が滑らかに変化しているはずだ、ということを基準として、滑らかな多様体の省略形としての離散形であるとして法線方向を定め(たりす)る

C++で実装した関数についての記述になってくる→応用だ、ということ 位相についての情報を調べるガウス標数 点の周囲の角の和は Total curvature

幾何的スカラー値を評価する ベクトルと1-形式 ベクトル vector は向きと長さとの情報のペア 1-形式は、「この向きについて評価して値を返してあげる」という仕事をするもの。covector 両者は「矢印」として空間・多様体上に描かれるけれど、「もの」と「作…

３次元空間にある曲面は２次元多様体。それを２次元平面にマップする(地球儀上の地図を紙の地図に写す)と、面上(２次元多様体と２事変平面)の微小ベクトルの長さが伸び縮みし、微小ベクトルペアが作る角も伸び縮みする 曲面・平面に沿ったベクトル(Tangent) …

曲面のために どうして離散版微分幾何・離散版外積代数か？ うまくできた理論体系である連続多様体の微分幾何・数理物理学を離散化したデータに使うことがメリット 多くの課題がポアソン方程式(2階の楕円型偏微分方程式)を解くこと、のように非常に短く表現…

DISCRETE EXTERIOR CALCULUS テキスト 目次 Chapter 1 Introduction Chapter 2 A Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry Chapter 3 A Quick and Dirty Introduction to Exterior Calculus Chapter 4 Toporogical Invariants of Discrete Su…

微分幾何があって、その離散版が離散微分幾何・離散外積代数 離散微分幾何・離散外積代数は何をするのか よくある例としては 三角形を貼り合わせた２次元メッシュが３次元空間に埋め込まれている場合と、四面体をつなぎ合わせてできた３次元オブジェクトが３…

離散微分幾何・離散外積代数の何がわからないか、って、それは 正単体(に擬せた空間)の微分積分処理が、どうして、chain complex, cochain complexの上げ下げになるの？ ということ たしかに chain complex, cochain complexは単体的複体という構造と相性が…

キーワードに挙げた諸単語がなんだかごちゃごちゃしていて落ち着かない わかる範囲で整理する 参考サイトは、 この微分形式。こちらもいろいろな資料へのリンクがあってよい このDiscrete Exterior Calculus 誤解していそうだけれど、とにかく、定着させない…