ryamadaのコンピュータ・数学メモ

曲率のこと

曲率曲率半径

曲率っていうのがある
平面上の曲線での曲率を考えよう
曲線の中で一番単純な円を考えよう
円は、円周上のすべての点で、曲率が等しい
それをaとおけば、曲率半径は $r=\frac{1}{a}$ である
曲率っていうのは、曲線上の点における、接ベクトルを考え、その接ベクトルの単位ベクトルを問題にする
この単位接ベクトルが、曲線に沿って単位長さ進む間に、どれくらいの角度変化するかが曲率
単位接ベクトルの角変化についての微分のこと
円を $(x,y) = (r\cos{t},r\sin{t})$ としよう
tは媒介変数
$\frac{dx}{dt} = -r\sin{t},\frac{dy}{dt}=r\cos(t)$ なので、単位接ベクトルは、 $(vx,vy)=(-\sin{t},\cos{t})$
単位接ベクトルの微分は $\frac{dvx}{dt}=-\cos{t},\frac{vy}{dt}=-\sin(t)$
今、媒介変数として $t$ から $t+dt$ に動いたとき、角度は $dt$ 変化している
この間に、曲線に沿ってどれくらい進んだか、というと、 $2\pi r \times \frac{dt}{2\pi} = r \times dt$
したがって、 $\frac{dt}{r\times dt} = \frac{1}{r}$ が曲率、曲率半径はr。円の半径は曲率半径だから、確かにそうなっている
具体例で言えば、単位円周上の１点 $(1,0)$ から $(0,1)$ まで回ったとき、(単位)接ベクトルの向きは、 $\frac{\pi}{2}$ 動いている。その間の円周上の距離は $\frac{\2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ となっている