曲率 テンソル 縮約 反応拡散系

  • この記事こちらを中心に
  • 多様体の曲がり具合を表すのは曲率
  • 曲率は、どっちの方向にどんな具合に、曲がるかなので、2次元平面にある1次元多様体である曲線なら、ただのスカラーだが、次元が上がると、向きとその組み合わせについて考慮しないといけない
  • 向き(ベクトル)の組み合わせの総当たりを考えるので、テンソルになる(テンソルはベクトルを掛け合わせたもの)
  • リーマン多様体には、接続具合とリーマン計量が乗っている。リーマン計量は2階のテンソル(行列の形)をしている
  • それが持つのがリーマン曲率テンソル
  • これは、曲がり具合をとてもよく表してくれているのだが、要素がたくさんあって、結局よくわからないから、曲がり具合を代表して示すものに変換したい。ただし座標変換不変に。
  • 最終的には「スカラー値」にまで下したい
  • 一気に下すのは大変なので、だんだんに下す
  • リーマン曲率テンソル→リーマン-クリストッフェルのテンソル→リッチテンソル→曲率スカラー
  • この「下し作業」は勝手にやるわけにいかない。「リーマン計量」があるときに下せる。それはリーマン計量がベクトルの内積を定めてくれているからで、「ベクトルの掛け合わせ」として発散するように複雑になった曲がり方のテンソルを、ベクトルの掛け合わせにスカラーを対応させる「内積定義」を導入することで、組み合わせの構成要素数を減らすことにお墨付きを与えてくれる
  • これが縮約
  • さて。。
  • 曲がり具合は、もっとも情報が多いリーマン曲率テンソルから、曲率スカラーまで、縮約の程度の違ういろいろがあるが、リッチテンソルは、リーマン計量と要素数が同じなので\partial g_{ij} = -2R_{ij}というような要素ワイズな偏微分方程式がすんなり置ける
  • これがリッチフロー(かな?)
  • じゃあ、「どれがリーマン計量〜リッチテンソル」か、というと…
  • 曲がっている。多様体の次元の分だけパラメタを使ってよくて、そのように曲がっている。パラメタを使うと局所面積がリーマン計量で与えられているから、座標の取り方は自由(座標軸を回してもよければ、伸ばしてもよいし、角座標にしてもよいし…)。その座標の取り方に自由な、そのパラメタの取り方について、リッチテンソルの要素があるので、その分だけリーマン計量の対応成分を減らしましょう、というのがリッチフロー。
  • 局所の座標系の取り方をうまいことすると、ラプラシアン不変とそれ以外にわけることができる。そのやり方は、リッチフロー偏微分方程式と同じ形をしている相対性理論アインシュタインの方程式でも使えていて、座標をうまくとる(調和座標系)ことで、その座標系の上での波動方程式としてみることができるという利点がある
  • リーマン計量と接続があれば、リーマン曲率テンソルもリッチテンソルも決まるから、リッチフローもリーマン計量と接続で表現できる。
  • さらに調和座標系を使うことで、リーマン計量の拡散とリーマン計量とその空間1次微分とで決まる成分に分けられる。拡散は、リーマン計量の各成分の拡散であり、リーマン計量とその空間1次微分とで決まる成分はリーマン計量の成分同士の増減をもたらす。
  • リッチフローが、リーマン計量の成分を要素とした反応拡散系としてとらえられることを表している。