射影幾何

楕円曲線と射影平面

楕円曲線というものがあるという(Wiki: こちら) 2次元ユークリッド平面でx,yを使って式を書いてもよいが、射影平面で考えると「非特異な射影代数曲線」との呼称ができて、わかりやすいらしい 楕円曲線を2次元ユークリッド平面に描き、それに遠近法で無限遠…

3次元回転の群

3次元の回転は、単位四元数であらわされる。 これは、方向(単位)ベクトルを軸に、角度の回転に相当する この回転を、をパラメタにして配置すると、ととれば、半径の3次元球(中身の詰まった)に相当する ここで、原点は、回転角が0なので、無回転=何もしな…

ぱらぱらめくる『楽しもう射影平面』目で見る組合せトポロジーと射影幾何学

楽しもう射影平面 目で見る組合せトポロジーと射影幾何学 [ 大田春外 ]ジャンル: 本・雑誌・コミック > 科学・医学・技術 > 数学ショップ: 楽天ブックス価格: 2,700円 第 I 部 目で見る閉曲面の分類定理 第1章 閉曲面とその表現 第2章 いろいろな曲面と閉…

射影幾何での直線とか超平面とか

こちらでシューベルト多様体とかについて書いている そもそも、射影区間で斉次1次式の零点集合が超平面になるっていう話を実感していないので、それをべたにメモしておく 簡単のために、n=3次元ベクトル空間に対して定まる、である射影空間を考える。という…

グラスマン多様体とプリュッカー埋め込み

9/15の記事でシューベルト計算についてメモした その背景となるグラスマン多様体、そのプリュッカー埋め込み、射影空間とかについて、Rを使いながら理解を確認してみる 複素ベクトル空間で考える。複素数を使うのは、複素数が代数的閉体であることから都合が…

その2〜射影幾何的に円を使ってスプライン曲線

昨日の記事は、まあ、ユーティリティ関数をいじるだけ、今日はユーティリティ関数にコメントを加えたり、少し、いろいろと書いておこう 2次元平面の曲線を、球面に変換する # 二次元平面上の3点を通る円 # Xは3x2行列 # 返り値は中心座標:ctr、半径:R、3…

射影幾何的に円を使ってスプライン曲線

一昨日の記事で円を使ったスプライン曲線を引いてみた まあまあいい感じだったのだが、その曲線を考えるにあたり、「曲率中心」がどのように動くか、ということが気になった 曲率の中心が反転する部分というのは、一度直線化するわけだが、それは曲率中心が…

共形変換でオタマジャクシ発生風

共形変換というのがある 複素関数の分数を使って座標変換する 「円」が「円」に移される変換 こちらに色々な複素関数の変換がある とかとかだと、円にくびれを入れることができる それは発生における脊索形成とかに擬せられる こちらでやった、渦とpivot tran…

ぱらぱらめくる『幾何学と代数系』

幾何学と代数系 Geometric Algebra -ハミルトン,グラスマン,クリフォード-作者: 金谷健一出版社/メーカー: 森北出版発売日: 2014/07/30メディア: 単行本この商品を含むブログ (4件) を見る 曲面を描くために射影幾何をあれやこれややり続けるのに疲れたので…

胚発生の射影幾何

pivot transformation その資料PDF 対数らせんの接線を射影幾何して胚発生 対数らせんは連立常微分方程式で表せて、射影幾何は線形変換だから、これも線形解釈の対象

心臓の射影幾何〜非対称〜

卵・栗はらせんが軸に対して対称な回転をしていた それを崩すと心室様の形になる # Projection: x4 has component of x3 p <- 0.4 # A projection matrix: Two convergence points are specified at (1,0,0) and (-1,0,0) M <- matrix(c(1,-1,0,0,0,0,1,0,0,…

卵と栗の射影幾何

卵や栗の形を3次元空間にある閉じた2次元多様体とみる この3次元空間にある2次元多様体を、4次元空間にある2次元多様体の射影3次元空間への像とみる 4次元空間にある2次元多様体を4次元空間にある1次元多様体であるところのらせんをある回転軸に…

二次元の貝のメモ

の解を考える と固有値分解し、3個の固有値k1,k2,k3がすべて実数であるとしk1 > k2 > k3とする なので とすれば 結局、 これをz=1平面を射影平面P2としたときに、どのような曲線が描かれるか、という話 P2上の座標はA...Iと書き換えてと書ける 今、「形」を…

初心に戻って、貝

貝や卵などの形のことをいじるのに、外積代数やら楕円関数やら、ボルツマン等式やらやったけれど、夏休みも終わりなので、元に戻って、貝 条件 > M [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 1.36836505 0.1216459 0.63585608 -0.5854620 [2,] -0.41765962 -1.7889032 0.214…

フルネ=セレと射影幾何

複比保存数列とボルツマン方程式と用量反応曲線のことを書いた 曲線が3次元空間で素直な形をしているときにそれを射影幾何的に投影すると…という話に用量反応曲線に用いた最適化関数を使おうとするとパラメタの数がどんどん多くなってちょっと大変であるこ…

ホモグラフィー

複比の保存から始めて、配置空間、商空間、不変量、楕円関数、超幾何関数、変分問題、幾何代数、barycentric coordinate、単体、グラスマン代数、双対、Conformal geometric algebra, Conformal geometric algebraを利用したグラフィカルアプリケーション、C…

幾何代数

「代数幾何(algebraic geometry)」と「幾何代数(geometrix algebra)」は違う Geometric algebraはgeometric productを使う。Geometric productは「スカラーとベクトルの和()」を返す 線形代数はユークリッド幾何に使いやすい 非ユークリッド幾何(の中でも特…

ぱらぱらめくる『Geometric Algebra in Linear Algebra and Geometry』

種本→こちら 目次 1. イントロ 2. 幾何代数と行列(linear and multi-linear algebra on n-dimensional real vector space: "null space", 2^n基底のGrassmann algebra) 3. 幾何代数と非ユークリッド幾何(affine, projectiev and other non-euclidean geometr…

模様のできるわけ

射影幾何、複比をいじっていたら、こんな模様ができた。 どうしてこういう放射状の周期模様になるのか考え中… 考え中だけれど、とにかく面白い模様なのでひとまずコードをメモ(ランダム発生させているので、放射状波状模様になるとは限らないらしい…) my.pro…

楕円曲線 ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

2. 楕円曲線 楕円曲線の理論は美しいという。いくつかの登山口があるという (1)楕円の周囲を求めるという動機から、三角関数では無理である、それを押し広げることとして到達する〜ガウス (2)1次元複素多様体〜リーマン面〜の理論からその不変量について知…

配置空間 ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

1. 配置空間 基礎事項 類別(カテゴリに分けること)。その分類基準が同値関係。類には代表を置くことがある。類の集合を商空間という。これをと書く。 商空間はある集合を、別の集合から0を除いたもので除したものの一般化。有理数は、整数集合を0を除いた整…

超幾何積分と背負ってる回路X(2,4)の一意化 ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

4. 超幾何積分と背負ってる回路 超幾何関数には積分表示というのがあって、となっている。 X(4)とかに慣れてきているので、とかを見ると、特異点0,1,1/t,無限大が頭に浮かぶ また、滑らかな多様体上である点から出発して元に戻ってくる経路を考え、その経路…

配置空間X(2,4)の一意化 ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

3. 配置空間X(2,4)の一意化 超幾何級数 なる作用素 べき関数がこの作用素の固有関数 べき級数とは、この作用素の固有関数による展開 が成り立つ このことを用いると 超幾何級数, のとき は、を満たすが、 これらより、超幾何級数が次の微分方程式を満たすこ…

かいつまみメモ:ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

私説 超幾何関数―対称領域による点配置空間の一意化 (共立講座 21世紀の数学)作者: 吉田正章出版社/メーカー: 共立出版発売日: 1997/07/01メディア: 単行本購入: 2人 クリック: 2回この商品を含むブログを見る 以降の記事はだらだらとノートを取っているだけ…

ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

射影幾何とかそこでの不変量とかの調べ物をするにあたり、超幾何関数周辺の知識が必要になったのでぱらぱらめくってみる 私説 超幾何関数―対称領域による点配置空間の一意化 (共立講座 21世紀の数学)作者: 吉田正章出版社/メーカー: 共立出版発売日: 1997/07…

複比でできた三角形上の直線

連立常微分方程式と射影幾何、複比の関係はこちら。固有値の差をパラメタとした指数関数の和が複比を定めることがわかっている(こちら) この複比を標準化すればのような関数が表れる 今、三角形があって、その2辺に、辺の両端を収束点とする複比数列がある…

超幾何関数はいろんな関数を表せる一般表現 ガウスの超幾何関数は超幾何微分方程式で定義される1変数の超越関数 なんでこんな変な微分方程式?という向きにはこちらの冒頭 そんなこと書かれてもイメージわかないし!、というときのためのグラフこちら こち…

3. Path Curves in One and Two Dimenstions その2 ぱらぱらめくる『The Vortex of Life』

昨日の記事で2次元平面に「栗」を描いた この記事はその続き 栗をパラメタライズして一般化する 3つの固有値を(k3+D,k3+D+d,k3)とする 今、d=0のとき、栗の頭と尻は相互に対称になって、「楕円」になる dを小さい値にしておくと栗というより卵になる d=0,0…

3. Path Curves in One and Two Dimenstions ぱらぱらめくる『The Vortex of Life』

1次元空間での射影変換は、第2次元の座標を加えてやって、2次元空間の点とした上で、線形変換をして1次元空間に戻してやる 不動点があるかどうか、その数が2個か1個か0個かは変換行列が決める その具合により、Growth measure(成長尺、不動点が2個)…

1. Concerning 'Whole' and 'Straight' ぱらぱらめくる『The Vortex of Life』

1. Concerning 'Whole' and 'Straight' 生物の理解のために「全体」を見よう 「まっすぐ」で理解する。「まっすぐ」な世界には、点、直線、平面…があり、線形代数がある。そしてそういうまっすぐなものは、変数は1乗であって、複数の変数の積は許さない。 (…