私のための曲率
- 「曲がっている」ことを定量する指標やその方法が曲率
- Mathworldの説明(の前半)がよい
- 「曲率」は「まっすぐ」なものと「曲がった」ものとの違いを定量する、というところから始まったが
- 一般化するにつれて、「曲がっている」ということが複雑であることがわかり、色々なことを説明する必要が出てきた
- その大きな分岐は、「まっすぐなもの」が持つ２つの性質を区別し、それぞれについて、「曲がったもの」がずれていることを表すということ
- 「まっすぐなもの」はいたるところで長さと面積と角度が同じで、ユークリッド幾何的である
- 「まっすぐなもの」は高次元空間に置いたとき、接空間がずれない
- この二つのうち、第一を内在的な曲がり方、第二を外在的な曲がり方として評価する
- 「ずれている」ことを表すにあたり、n次元多様体をm次元空間に置くと、多様体の接空間はm-n次元あるので、内在的曲率に関して、n次元的に評価できるし、接空間についてはm-n次元的に評価できる
- 曲がっていることのすべてをとらえる一つの体系的なやり方は、n^2 x (m-n)のテンソルを取ること(なのか？？？)
