5 Normals of Discrete Surfaces またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

• 離散三角メッシュの頂点の法線方向の定義についての章。複数の決め方がある
• 三角形の面積が法線ベクトルであることを利用して、面積の局所変化(gradient)を用いる方法
• 埋め込み関数をラプラシアンしたものが平均曲率の大きさを持つ法線ベクトルになることを利用する方法
• 法線長ｘ底面積＝体積を利用して、体積と底面積から割り出す方法
• 5.1 Vector Area
  • 多角形の面積をはかるときは、任意の１点を取り、多角形の各辺と三角形を作り、その三角形の符号付き面積の和を取れば、多角形の面積になる
  • 離散外微分を使うと、頂点ペアのクロス積の和がそれになる
  • 三角形の面積が「外積」で計算できるという話があるが、それは法線ベクトルが面積と関係するということ。今、ある領域が三角形に区画化されているとき、法線ベクトルが長さ付きで得られる。平坦なら、それらはベクトルとして打ち消し合わないので、ベクトルの和を取って長さを測り直せばそれが面積に相当する。三角形が波打っていると法線ベクトルが並行ではなくなるので、打ち消し合ったり、隙間が空いたりするが、その分をリーマン計量による伸び縮みが調整してくれるので、リーマン計量補正の局所法線ベクトルの和が曲面の面積。ただし、これはある領域の積分だから、さらに周縁に関する積分と一致することがストークスの定理からわかるので、そちらで計算する方が便利
• 5.2 Area Gradient
  • 局所平面には面積があり、それは長さ情報付きの法線ベクトルとなっている
  • ある点においてその近傍には微小面積がびっしり充満しているが、それらの面積に相当する法線ベクトルも充満している
  • それらは滑らかになっているはずなので、gradient評価が可能で、ある点の法線ベクトルはそれらのコンセンサスを得たものになるはず
  • それが離散メッシュでの頂点の法線方向(とそこでの面積の大きさ(伸び縮み考慮した面積))
  • このようにして得られる法線方向と同じものが別の方法でも出る。平均曲率の大きさを持つ法線ベクトルは、埋め込み関数にラプラス-ベルトラミ演算子を作用させたものに一致することから出せる
  • したがって離散版ラプラシアンが作れればよいが、それは一般には簡単ではない。しかしながら、共形座標系という限定を置くとその制約のせいで、可能になる(そこに指数関数が出てくるのは、等温座標系ってこと？？？)
• 5.3 Volume Gradient
  • 法線長ｘ底面積＝体積を利用して、体積と底面積から割り出す方法
• 5.4 Other Definitions
  • その他にも、周囲面の法線ベクトルの(重み付き)平均を取る、とか。