わたしのための曲面
- こちらで曲面に関する本をぱらぱらしている
- 数学の本には、数学らしい書き方があるが、わたしのための理解は、その書き方に沿うとは限らない
- 曲面の場合は、その色が濃いようなので、わたしのためのメモをする
- ３次元空間に曲面がある
- その曲面がどうなっているかを理解したい
- そのことを、２次元平面の伸び縮み具合とその３次元埋め込みとに分けて理解することができる
- 伸び縮み具合の理解と第１基本形式
- 埋め込みと曲率
- 平面は３次元空間に「ふっ」とおくことができる。向きをいろいろ変えることができる
- 曲面は伸び縮みしない布のようなもので、「ふっ」と置くことができる。向きも変えることができるが、向きを変えるだけでなくて、でこぼこバターンを変えたり丸めたりすることもできる。そのときに伸び縮みパターンは変わっていない
- で、あるからして、どのような埋め込みになっているかは、曲面の局所がどこに置かれているか(座標がどうなっているか)に依存する情報がある
- どのように曲げて埋め込むか、曲面の法線ベクトルを、面に沿ってどのように変化させながら「置く」かということ
- それが曲率
- そのような関係があるので、法線ベクトルの変化の仕方についての記載である第２基本形式は、第１基本形式(布の伸び縮み情報)に、法線ベクトルの変化具合とを合わせた表現になっている。そして、その法線ベクトルの変化具合というのは、面の局所の座標の１階と２階の微分とで表すことができる
- 曲率はいろいろ調べると、結局のところ、布に接する「楕球」を定めることになっている。ただし、場合によっては、「反り返った楕球〜双曲面」だったり、「一方向には平坦でもう一方向にだけ円〜放物面」だったりする
- これらは、一番曲がっている方向の第一主曲率と、それに直交し、一番曲がっていない方向であるもう一つの曲率(第二主曲率)とを知ることと同じ
- これをわかりやすくする別の曲率があって、一つが平均曲率(２つの主曲率の算術平均)であり、もう一つがガウス曲率(２つの主曲率の積)を使うこともある
- このように主曲率２つでとらえるか、その持ち方を変えて、平均曲率とガウス曲率とに分けるのは、ガウス曲率が0でないとき、局所の面積に変化があることに対応するなど、曲面のとらえ方として有用だからでもあるのだろう
- また、ガウス曲率と平均曲率との関係は、埋め込み具合を行列で表現したときの行列式をトレースとに対応するという意味でも、「有意義」である
- さらにまた、ガウス曲率は、埋め込みによらず、伸び縮みだけ(第１基本形式だけ)で決まるものである、という観点から言えば、曲率をガウス曲率を平均曲率とに分けるのは、曲率の埋め込み非依存成分と、依存成分とに分けて記載する、ということでもある
- 曲面が埋め込まれているとき、曲面上の曲線も埋め込まれている。埋め込まれた曲線は、曲面上の曲線であるが、その曲率は、曲面成分と、接平面成分とに直交関係で分けることができる。前者を法曲率、後者を測地曲率と呼ぶ
