曲面の曲率

  • 曲面の曲率は、2つの主曲率\kappa_1,\kappa_2で表すことができます
  • 曲面に接する楕球を取って、その最大円と最小円の曲率半径の逆数が\kappa_1,\kappa_2です
  • 2つの値で曲率を表現していますが、2つの値の取り方を変えることもあります
  • K=\kappa_1 \times \kappa_2(ガウス曲率)、\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}(平均曲率)の二つです
  • H^2-K = (\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2})^2 - \kappa_1\kappa_2 = (\frac{\kappa_1-\kappa_2}{2}) ^2 \ge 0という関係(制約)があります。あとで使います
  • 曲面の曲率を表しているものに2x2対称行列であるリーマン計量というモノもあります
  • M = \begin{pmatrix} x,z\\ z, y \end{pmatrix}ですが
  • K = det(M) = xy-z^2,H=\frac{1}{2} Tr(M) = \frac{1}{2}(x+y)という関係にあります
  • K,Hを使ってリーマン計量を表すとM = \begin{pmatrix} H 0 \\ 0 H \end{pmatrix} + \sqrt{H^2-K} \begin{pmatrix} \cos{\theta}, \sin{\theta} \\ \sin{\theta}, - \cos{\theta} \end{pmatrix}という関係になります。\thetaはなんでもよいです
  • 曲面の曲がり具合というのは、回転させても本質は変わらない、ということが、\thetaが任意だというところに現れています
  • \begin{pmatrix}a,b\\c,d \end{pmatrix}固有値\lambda = \frac{1}{2}(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2-4(ad+bc})です
  • (a+d) = Tr(M) = 2Had-bc = det(M) = Kであることから、\lambda = \frac{1}{2} ((2H) \pm \sqrt{(2H)^2-4K}) = H \pm \sqrt{H^2-K}となります。上でH^2-K \ge 0だったことから固有値は2つとも実数です
  • \lambda = \kappa_1,\kappa_2