わたしのための曲面 その２

• 曲面論の基本定理
  • 第１基本形式と第２基本形式が両方とも等しい２つの曲面は合同である。合同であるとは、ぴたりと重ね合わせられる、ということ(第１基本形式と第２基本形式を決めているのはを構成する６つの関数である。ただし、６つの関数は、曲面であるために満たすべき制約を有している。
• 測地線
  • 曲面上の２点を結ぶ最短曲線とは、曲線の法曲率と測地曲率とを考えたときに、測地曲率が0であるような曲線である
  • 測地曲線が0でない曲線、とは曲面の上だけで考えてもカーブしている曲線のことなので、曲面上にあって、その上で「まっすぐ」進むことが、測地線の条件であることを意味する。局所的に、曲面上に居ることを意識せずに、まっすぐ歩けば、それが曲面上の歩き方としても最短コース(直線)である、ということになる
• 極小曲面
  • ある閉曲線を境界とする曲面のうち、面積最小の曲面
  • これは、平均曲率が0である
  • 逆に言うと、平均曲率が0ではないということは、「面積が余っている」ということ
  • 平均曲率が0というのは、平坦か、曲がるのであれば、第１主曲率と第２主曲率との符号が異なり絶対値が同じということ