6 The Laplacian またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

ラプラシアンと、ラプラシアンを用いた微分方程式であるポアソン方程式について。そしてのその離散版について
スカラー場があって、その微分をしてベクトル場にして、そのベクトル場のdivergenceを取ってスカラー場と作りたい
微分形式を使うにしろ使わないにしろ、「やりたいこと」はスカラー場情報が離散的に与えられているときに、それ(とメッシュの情報(位置・つながり具合・曲率・法線方向など))を使って、局所にラプラシアンの結果であるところの離散的スカラー場を返すような演算子を離散的に構成したい
6.1 Basic Properties
- $\Delta \phi = \rho$ がポアソン方程式。 $\rho$ がわかっているときに $\phi$ と言うポテンシャルが問題になる
- $\rho=0$ なら、調和関数が解になる
- ラプラシアンはPositive-semi definite
6.2 Discretization via FEM
6.3 Discretization via DEC
- 6.2,6.3とも結局同じ答えになる
6.4 Meshes and Matrices
- 頂点と辺との関係、辺と三角形の関係、頂点と三角形の関係が非正方0,1行列となりつつ、三角形のcotangentなどを使って、行列サイズは大きいながら、単純かつ疎な大行列の線形代数で表せることが示せる
- Cotan-Laplace operatorの離散版
6.5 The Poisson Equation
- Cotan-Laplace operatorにより局所のラプラシアンが計算できる
- 結果、三次元オブジェクトの表面にラプラシアン・スカラー場を表示できる。凹凸具合の視覚化の一方法である
- 三角メッシュデータの取り扱いにhalf-edge formと言うのがある
6.6 Implicit Mean Curvature Flow
- このCotan-Laplaceオペレータを使えば、任意の離散スカラー場が出せるから、埋め込みのラプラシアンが平均曲率であることを利用して、平均曲率のスムージングをすることもできる