外積代数

9 Conclusion またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

8 Vector Field Decomposition and Design またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

8.1 Hodge Decomposition 8.2 Homology Generators and Harmonic Bases 8.3 Connections and Parallel Transport 8.4 Vector Field Design

7 Surface Parameterization またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

球面を平面に直すとゆがむ 長さと角度の両方を保存して平面化できないことを意味する 長さのゆがみは許容して、角度だけは保存することはできる。共形変換と言う 共形変換は平面を複素平面としてみることで説明することが多い 純虚数は複素平面での1/4回転を…

6 The Laplacian またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

ラプラシアンと、ラプラシアンを用いた微分方程式であるポアソン方程式について。そしてのその離散版について スカラー場があって、その微分をしてベクトル場にして、そのベクトル場のdivergenceを取ってスカラー場と作りたい 微分形式を使うにしろ使わない…

5 Normals of Discrete Surfaces またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

離散三角メッシュの頂点の法線方向の定義についての章。複数の決め方がある 三角形の面積が法線ベクトルであることを利用して、面積の局所変化(gradient)を用いる方法 埋め込み関数をラプラシアンしたものが平均曲率の大きさを持つ法線ベクトルになることを…

4 Topological Invariants of Discrete Surfaces またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

球かドーナツか、などの話しとその離散版の話。今回は(も)省略 4.1 Euler Characteristic 4.2 Regular Meshes and Average Valence 4.3 Gauss-Bonnet 4.4 Numerical Tests and Convergence

3 Quick and Dirty Introduction to Exterior Calculus またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

3.1 Vectors and 1-Forms ベクトルは向きと大きさを持つもの ベクトルについて情報を取り出す関数があって、それは、ある方向に関するベクトルの成分を返す関数。これが1形式(covector) ベクトルも1形式も向きと大きさを持つので、同じもののようだが、片や…

2 Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

2.1 曲面の幾何 曲面を考える 曲面を埋め込む関数fがある 曲面を考えるときには、接平面も考える 接平面に含まれる接ベクトルというものもある 接平面に垂直な法線ベクトルというものもある。面には二通りの法線方向が取れるので、どちらを基準にするかを考…

1 Introduction またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

Topics include: curves and surfaces, curvature, connections and parallel transport, exterior algebra, exterior calculus, Stokes’ theorem, simplicial homology, de Rham cohomology, Helmholtz-Hodge decomposition, conformal mapping, finite ele…

またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

テンソルについて整理したので、再度、読み直してみる テキストはこちら 構成 1 Introduction 2 Quick and Dirty Introduction to Differential Geometry 3 Quick and Dirty Introduction to Exterior Calculus 4 Topological Invariants of Discrete Surfac…

閉多様体 微分形式 外微分 閉形式・完全形式 ストークスの定理

色々ある。入り口をどこにするかも選べる話題である。 微分可能多様体から入ることにする 微分可能多様体 空間に滑らかな物体を考える。3次元空間におかれた曲面は2次元多様体であって、滑らかなので微分可能な2次元多様体 曲面を球体のように閉じると、…

Vagrantを使ってUbuntuを利用する

Virtual BoxをWindowsマシンに入れる(こちら) Vagrantを入れる(こちら) Vagrantで動かすUbuntuを手に入れる ここに色々なOSがあるが、今回は、この中のUbuntuの一つを選ぶ Ubuntu 14.04 (based on amd64 server iso file) コマンドプロンプトでとして、しば…

昨日の記事で幾何代数の概要を確認しなおした それを使って5次元空間での線形代数が3次元空間の共形変換を扱うことについて少しずつ整理しよう 5次元を3次元に下ろすとき、遊びの2次元がある。いきなり2次元の余裕を使う前に、4次元を3次元に下ろす…

幾何代数 再び

先日来(こちらとか)、曲面操作のための方法として、3次元空間を四元数で扱うことと、微分幾何とを組み合わせることで、曲面変形を線形代数解法に結びつける方法について延々と調べ物をしていた そのキモは、線形代数は強力だけれども、それだけを使うと、図…

何度目かの微分形式・外積代数メモ

ベクトル解析する。空間にベクトルの場があって、その様子を取り扱う。 場の様子を取り扱うには微分する 空間の広がりがあるので、微分処理も空間的に行う〜微分演算子がベクトルの形をしている〜微分ベクトル演算子 ベクトル演算子はベクトル的に「掛かる〜…

四元数と外積代数との出会い

四元数が曲面上のスカラー・ベクトル場の扱いに都合がよいのは前の記事 それと外積代数との関連は、というと: 0形式としてのスカラー、1形式としての3次元ベクトル、それを二つ組み合わせてクロス積をとると2形式 3次元ベクトル(p,q)とそれを純虚四元…

私のための微分幾何の周辺

キーワードに挙げた諸単語がなんだかごちゃごちゃしていて落ち着かない わかる範囲で整理する 参考サイトは、 この微分形式。こちらもいろいろな資料へのリンクがあってよい このDiscrete Exterior Calculus 誤解していそうだけれど、とにかく、定着させない…

微分形式と曲線

外積代数は、n個の線形独立なベクトルに対しての要素が作る代数系 その特徴として 正負・向きの存在 階層性 階層の対称性と関係の深い双対構造 外積代数を微分の線素ベクトルに用いると微分形式 微分形式は外積代数の構成を持つが、その階層を上るのが外微分…

外積代数メモ

n次元ベクトル空間に次元のグラスマン代数標準基底がある その基底を(),(1),(2),...,(n),(1,2),(1,3),...,(n-1,n),...,...,(1,2,...,n)とする 今、基底同士のウェッジ積には、「同じ要素を含んでいれば0」というルールと、「(1,4,3) = (-1) (1,3,4)というル…

幾何代数

「代数幾何(algebraic geometry)」と「幾何代数(geometrix algebra)」は違う Geometric algebraはgeometric productを使う。Geometric productは「スカラーとベクトルの和()」を返す 線形代数はユークリッド幾何に使いやすい 非ユークリッド幾何(の中でも特…

ぱらぱらめくる『Geometric Algebra in Linear Algebra and Geometry』

種本→こちら 目次 1. イントロ 2. 幾何代数と行列(linear and multi-linear algebra on n-dimensional real vector space: "null space", 2^n基底のGrassmann algebra) 3. 幾何代数と非ユークリッド幾何(affine, projectiev and other non-euclidean geometr…

テンソル代数

テンソルの計算は、シンプルな(線形性のある)計算で、任意の階数でできるようにしたものだということを説明するには、Rのouter()関数的なものを自作してみるのがよさそうなので、その説明用のRソースを書いてみる その上でテンソルが表している演算とか、外…

外積代数のメモ

pdf_files \documentclass{jsbook} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{bm} %\usepackage{graphicx} \usepackage{ascmac} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{graphicx} \usepackage{bigdelim,multirow} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,c…