SLEはブラウン運動が駆動する曲線 その離散版にSchwarz-Christoffel変換に対応する共形変換の繰り返しが生成する折れ線がある Schwartz-Christoffel変換は、多角形を複素上半平面と対応付ける変換(こちら) 量子状態のブラウン運動的変化を量子ウォークと言う…

共形変換によって不変なことを扱う分野に共形場理論と言うのがあるらしい しきいが高い〜コンパクトに説明したサイトになかなか行き当たらない〜テクニカルな説明が前面に出ている記事ばかり… ひとまずこの記事の入り口からは入れそうなので、メモ 交換子[A,…

最後のオイラー三角化をしながら航路を引き切る部分、力尽き果ててしまったけれど(というか、離散・乱点的アプローチより、リーマンの写像定理とメビウス変換的な共形変換ベースの航路引きの方がよさそう…と思ってしまったのでやめたのですが) 以下、Rmdファ…

昨日の記事で幾何代数の概要を確認しなおした それを使って５次元空間での線形代数が３次元空間の共形変換を扱うことについて少しずつ整理しよう ５次元を３次元に下ろすとき、遊びの２次元がある。いきなり２次元の余裕を使う前に、４次元を３次元に下ろす…

先日来(こちらとか)、曲面操作のための方法として、３次元空間を四元数で扱うことと、微分幾何とを組み合わせることで、曲面変形を線形代数解法に結びつける方法について延々と調べ物をしていた そのキモは、線形代数は強力だけれども、それだけを使うと、図…

昨日の記事は、正球三角形メッシュを適当にまげて共形変換的に曲面を作る話だった。そのときの「曲げ」の情報は、各点の属性である『平均曲率mean curvature』の増減量としてrhoを指定する、というやり方だった 今日のは逆で、ある曲面三角形メッシュを共形…

Rmdファイル 拡充して、こちらに移動 --- title: "球面の変形〜Rで学ぶ曲面の四元数共形変換" author: "ryamada" date: "Saturday, April 04, 2015" output: html_document --- # 球面の変形〜Rで学ぶ曲面の四元数共形変換〜 # 使用するパッケージ一覧 ```{r…

こちらでやっている、三角メッシュの変形をなぞって、そのやり方を確認する 変形というのは以下のようなこと(上記リンク先より) 資料はこちらと、こちら、そしてC++ソース(こちら) 入出力 入力 (1) 曲面の情報 (2) 曲面の曲げ方の情報 出力 (3) 入力(1),(2)…

ちょっとごちゃごちゃしているけれど、備忘録代わりにepub化しておく 曲面の接面・法線的扱い、その四元数処理、共形変換の最小二乗法的扱いなどについて これとこれが基礎資料 曲面への共形変換マッピング?複素数・四元数のそれぞれで最小二乗法?作者: ryam…

資料 ３次元空間に埋め込まれた曲面を三角形分割し、曲面の周囲に２次元座標を与え、曲面の非周辺点に共形変換に近くなるように２次元座標を与える方法。「共形変換に近い」かどうかの基準は最小二乗法を採用し、その解を求めるにあたって線形代数的に一意に…

参考資料 曲面が三角形分割で離散データ化しているとする このとき、点の数nv、三角形の数ntとする 点には、３次元座標piがあり 三角形の三頂点座標は、２次元座標で与える(そういう平面があるとする) 今、各頂点に複素数を割り当てる その割り当てる複素数…

共形変換は「角度を保存する変換」 直交する２直線は直交する 平面を３次元空間に埋め込んで２次元多様体をつくるときに、それが共形変換になっているというのは 平面の各点の法線ベクトル(これらは平面ならすべて同じ)が、埋め込み後に滑らかなベクトル場に…

単位円板を共形変換して任意の閉曲線に囲まれた板に変えることをやっている 凸(曲率が大きい)になるところは、単位円板的に疎に、凹になるところは密に対応づけようとしている 少し、立ち返って考え直そう 今、円板がただの円周の紐であって、内部がカラだと…

circle packingについてこちらに書いた 閉曲線を単位円板に共形変換するとき、閉曲線で曲率が小さいところは単位円板では密に、大きいところは疎に対応するのだった 今、単位円周に密度分布を入れて、それが滑らかな関数であるとする その密度分布を累積する…

前の記事では、多項式近似をしたけれど、別に多項式でなくてもよいのだから、結局、をに移せばよい(は単調増加関数で、を満足する)とすれば、がその関数 逆にいうと、これが、多項式近似に用いた点の数を無限大にしたときの極限(？)

昨日の記事で、共形変換による閉領域の単位円板対応では、外周の曲率を対応点の粗密にするとよいのでは、ということになった さて 単位円板を単位円板に移しつつ、その外周粗密を変えるときの変換はどうするか？ 外周は「ふりふり」になる様子が見える。これ…

Circle packingというのがある。同じ単語で異なる複数の概念に対応するようなので、注意が必要だが、ここでは共形変換とのからみで使うそれを扱う 具体的には、このPDFにあるようなそれのこと 共形変換では「角保存」するわけだけれど、それは「直角は直角」…

共形変換でがに移るとき、「ジャンプ」する、という考え方もあるだろうけれど、連続的に変形して、結果としてに移る、ということもありだろう 今、という変換だとしたときに、という風にすると、連続的に動かせる が、の方が素直だろうか→実際、項ごとの和に…

昨日は共形変換の基本パーツについて図示して確認した 変換で回りすぎて重なるというようなことのない領域での変形データが得られたときに、その変換関数を推定する、ということを考えてみる という変換とする 係数推定なので、n個の複素数〜2n個の実数の推…

昨日は共形変換によって形の異同をノルムに変える話だった 「形」〜「輪郭」だけだと、リーマンの写像定理から、「すべての輪郭は単位円に共形変換できる」ので、「共形変換」が作る距離空間(測度空間)で話をすることになるようだ この場合には、「単位円」…

昨日までの記事で、共形変換についてメモをした というのも、形について解析がしたいから こちらのPDFは共形変換を用いた形解析そのものに関するもの。読んでみよう 大まかに言うと(アブストラクトによると) 二次元平面の「形」っていうのは、滑らかな曲線で…

昨日、共形変換とそれを定義づけるに際して出てくる複素関数の諸用語についてメモをした その中で、複素平面全域で微分可能な複素関数は級数展開できること、そのような関数は正則であることを書き、正則関数は共形変換を定めるし、正則関数を分母分子にする…

１変数(複素数)の複素関数を考える 台は複素平面(実数の二次元平面に見立てることができる) 関数の値は複素数。複素数は虚実の二成分からなるから、二次元平面上に二次元ベクトルが置いてあるようなものが得られる 二次元の台に二次元の値が乗っているので、…

SLE曲線では実軸上の関数を駆動関数として、複素数を変換する共形変換になる微分方程式を立てている 今、ある時刻tになる値を駆動関数が取っているとする。によって曲線の先端が、実軸上の点(Ut,0)に共形変換されている。 ではこの微分方程式はどうなってい…

一昨日の記事で、実直線上の駆動関数から複素平面上の曲線を計算するのは、難しい・・・と書いたが、大まかには描けるだろう スタート時のグリッド点が駆動関数に応じてどこに移されるかはわかるから、その中でもっとも、駆動関数の先端点に近い３点を選んで…

駆動関数によって実直線上を動く。これが駆動関数となって、ある曲線が複素上半平面を伸びることに対応する。 その曲線を除いた複素上半平面を、曲線部分も含めた複素上半平面全体に写す変換が存在して、それは共形変換であることが知られている 実際、この…

共形変換というのがある 複素関数の分数を使って座標変換する 「円」が｢円」に移される変換 こちらに色々な複素関数の変換がある とかとかだと、円にくびれを入れることができる それは発生における脊索形成とかに擬せられる こちらでやった、渦とpivot tran…