円形変換のこと

  • 単位円板を共形変換して任意の閉曲線に囲まれた板に変えることをやっている
  • 凸(曲率が大きい)になるところは、単位円板的に疎に、凹になるところは密に対応づけようとしている
  • 少し、立ち返って考え直そう
  • 今、円板がただの円周の紐であって、内部がカラだとする
  • そのときは、紐の長さを、変形後の周長に合わせて変形するのがよいだろう。そこでは曲率による粗密を考慮するのはナンセンス
  • どうして、そうか、と言えば、「紐」には「保存の法則〜物理学法則」が成り立つと信じるから
  • そして、内部が空疎であるとき、内部にはその保存の法則を変えようという「力」がないから
  • では、空疎でないということはどういうことか、というと、「周辺」と連続な可塑性のまったくない物質でできている、というのが極端な場合だろう
  • その場合、変形は「できない」。もしくは、「変形」するには「破壊」を伴う
  • ではその中間は、というと、流動性のある液体・ゲル・ゾルがあって、「紐」単独の行動を許さない、という力がある場合だろう
  • さて。
  • その力をモデルにするには…
  • 周縁の内側に、粒子が並んでいるとする。その粒子の大きさが無限小のとき、単位長さの周縁あたりに並ぶ粒子数は、凹凸によらず同数になる
  • 粒子サイズが有限になると、凹凸によって、並ぶ数に多少が出る
  • この粒子サイズ依存的な粒子数の差異を粘性のパラメタとすることができるかもしれない
  • Circle packingでどれくらいの円を置くか、というのは、こんなことに相当するのかもしれない
  • 別の考え方もしてみよう
  • 粘性を、「辺縁が引きずっている体積」であるとすると、「体積保存の法則」が成り立つべきだろう
  • 辺縁の引きずり深さが無限小なら、「保存するべき体積」は「辺縁の長さ」であって、有限ならは、「保存するべき体積」は凹凸によって大小が出る。凸のときには、小さ目の体積で十分、凹のときには大き目の体積が必要。この考え方だと凹には単位円板としては広い範囲が、凸には狭い範囲が対応づく