円の折り返し

半径2の円周がある その1点を円周の内部に押し込んで、半径1の円周とその内張りとにする 対応する点を結ぶベクトルの始点を1箇所にするとどんな絵になる? t <- seq(from=0,to=1,length=100)*2*pi t2 <- c(t,t+2*pi) x1 <- cos(t2) y1 <- c(sin(t),-sin(…

指数関数で複素平面を閉じる

複素平面の虚軸という直線は、指数関数変換をすると複素単位円に写る 今、虚部が非負の複素半平面上に原点を出発する曲線があったとする これを指数変換すると、曲線が虚軸と交差する点は複素単位円に写され、実部負の点は単位円の内部に、実部正の点は単位…

その2〜射影幾何的に円を使ってスプライン曲線

昨日の記事は、まあ、ユーティリティ関数をいじるだけ、今日はユーティリティ関数にコメントを加えたり、少し、いろいろと書いておこう 2次元平面の曲線を、球面に変換する # 二次元平面上の3点を通る円 # Xは3x2行列 # 返り値は中心座標:ctr、半径:R、3…

射影幾何的に円を使ってスプライン曲線

一昨日の記事で円を使ったスプライン曲線を引いてみた まあまあいい感じだったのだが、その曲線を考えるにあたり、「曲率中心」がどのように動くか、ということが気になった 曲率の中心が反転する部分というのは、一度直線化するわけだが、それは曲率中心が…

RANSAC with 円によるスプライン曲線

昨日の記事で円による2次元スプライン曲線というのを考えて実装してみた 観測点が疎なときは、スプライン曲線が良いだろう しかし、乱雑項を持って密に観察したときは、「すべての観察点を通る曲線」であるところのスプライン曲線はよろしくない そんなとき…

円によるスプライン曲線

スプライン曲線というのがある(Wiki記事) 与えられた点を通り、点の間は多項式曲線でつなぎ、点においてk次の微分が等しくなるように(滑らかになるように)多項式係数を調整した曲線のこと これを曲率の考え方、円の考え方に取り込んでみる 2次元平面に順序の…

メモ

トーラスは多重周期関数 周期関数の基礎は円 円周座標を三角関数にして2変数で表すか、複素平面上と見て複素数で見るかは視点の違い 正単体上の頂点の順列を巡る変換行列は頂点数の偶奇で挙動が違うが、それは、個々の頂点ごとに円を考えるから・複素平面を…

複素数界に飛び出ている円軌道

原点を中心とした半径1の円(単位円)と三角関数は表と裏の関係にある この円を複素平面に描けばで表せる とすると区間を正弦関数形の周期変化をしているものを表現していることになる その裏、も同様にで周期変化をしている この変化を2カテゴリの比率の周…

距離を置いて配置する

こちらで円形2次元空間に、単位円を重なりがないように配置する話をしている 直径Rの円形空間に、直径1の単位円をN個配置したいという そもそも、そんな配置ができるのかを確かめるとすれば、をまず確認することもできる とすると、なので、十分かどうかは…

球面配置

昨日は球の分裂からの派生で円形・球面の度数分布について書いた そのとき、半径の広がりに応じて、指数関数的にセルを増やすことにしたのだが、よく考えたら、それは変 タイリングなので、正六角形の埋め尽くし、とかが適当。球面なら、サッカーボール型か …

球面配置

昨日は球の分裂について書いた 分裂の均等性・不均等性を議論するには、分裂後の球に引き継がれた点の分布を球面上で評価しなくてはならない そのために球表面の分布が取りたい 球表面をどんな風に分割するのがよいだろうか、と考える こんなことを考えたこ…

カッシーニ曲線

カッシーニ曲線 x<-y<-seq(from=-2,to=2,by=0.01) xy<-expand.grid(x,y) a<-4 b<-4 z<-(xy[,1]^2+xy[,2]^2)^2-2*a^2*(xy[,1]^2-xy[,2]^2)+a^4 image(x,y,matrix(z,length(x),length(y)))

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こちら(ikuro先生のページは本当に素晴らしい) 2定点からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円(2定点が一致すれば、円)、差が一定の点の軌跡は双曲線(2定点が一致すれば、バツ印)、商が一定の点は円(アポロニウスの円)(2定点が一致すれば、商はつね…