正単体

グラフの単体の列挙

オイラー三角化グラフができたら、三角形の列挙がしたい こちらにあるように行列操作でそれができる やってみる plot(g) ad <- as.matrix(get.adjacency(g)) E <- ad E[lower.tri(E)] <- 0 g <- graph.adjacency(E) #plot(g) #el <- get.edgelist(g) S.list …

正単体のメモ

-正単体は、-次元空間にある、頂点数の正単体 重心から頂点までの距離が1であるようなそれを考える 次元に-正単体を置くには、個のデカルト座標軸上にのように頂点を取ることで作成できる 重心はであるので、確かにこの重心からの距離が1であることを確かめ…

メモ

トーラスは多重周期関数 周期関数の基礎は円 円周座標を三角関数にして2変数で表すか、複素平面上と見て複素数で見るかは視点の違い 正単体上の頂点の順列を巡る変換行列は頂点数の偶奇で挙動が違うが、それは、個々の頂点ごとに円を考えるから・複素平面を…

正単体用三角関数(続き)

少し整理して書き直し この関数はどういう関数か、というと 周期的 d=2,3,4,...と任意の2以上の自然数の関数の組であって、すべての関数が周期的 そのすべての関数の位相のずれは、ずつ この関数の実数成分は1周期をd等分してそこの範囲で大きな値をとり、…

多因子の作る単体的複体とスペクトル分解

昨日の記事で正単体の頂点を巡る「回転」運動のことを書いた 出来上がる「『三角』関数」は周期関数で、頂点数の関数が相互に「頂点数対称」になっている これを実データから読み取るときは、それほど苦労せず、個々の要素の周期性をスペクトル分解(フーリエ…

複素数界に飛び出ている円軌道

原点を中心とした半径1の円(単位円)と三角関数は表と裏の関係にある この円を複素平面に描けばで表せる とすると区間を正弦関数形の周期変化をしているものを表現していることになる その裏、も同様にで周期変化をしている この変化を2カテゴリの比率の周…

表面積と体積

今日は円と球に関する積分の話から n次元球の表面積と体積がと関係していること 立方体の表面積と体積、正単体の表面積と体積とも同様であること それがわかりやすいのは、立方体と正単体とが球に外接する場合であること などをやりました また、球の体積は…

Chirality

多次元視覚の話をしている 多次元オブジェクトを減次元観察するとき、対称な観察ベクトルを取るのがよさそうなことはわかる そんな観察ベクトルとして、一つはデカルト座標の軸(n本。もし「裏側」も見たいならnx2本) 対称な点をn次元球面にとるのはそれ自体が…

どの格子点に近い?

先日、正単体を組み合わせた格子座標系上のある点からもっとも近い格子点ってどうやったらわかる?ということが話題になった 多次元立方格子の場合には、各軸の値を四捨五入してやっておしまい はて、正単体組合せでは…となった どうも、近い格子点を探す方…

順序を入れる

こちらでカテゴリの生起確率ベクトルの空間を正単体としてとって、そこに階層化したルールに基づく順序を入れる話がある 3カテゴリ、2次元、2-正単体=正三角形の場合に、2辺を貼り合わせて、円錐(の側面)に作り上げると、順序は円錐の側面を無限に短いピ…

埋め尽くし

正方形のタイルで平面を埋め尽くすのはタイリングの一種 正三角形のタイルで平面を埋め尽くすのもタイリングの一種 正三角形は正単体の一つ 正単体での埋め尽くし・タイリングとは? 頂点数2の正単体が1次元空間でタンデムに並んでいるのは、1次元空間の…

複体のグラフ表示

複体というのがある 単体の集合だ お絵かきしてみる 単体の隣接行列は、対角成分を0としそれ以外の成分はすべて1であるような行列である 複体は単体同士がより小さな単体を共有した形になっている したがって、次のようにランダムに作ることができる ノー…

メモ

CategoryVector<-function (d = 3) { if(d == 1){ return(matrix(1,ncol=1,nrow=1)) } df <- d - 1 diagval <- 1:d diagval <- sqrt((df + 1)/df) * sqrt((df - diagval + 1)/(df - diagval + 2)) others <- -diagval/(df - (0:(d - 1))) m <- matrix(rep(ot…

元に戻る回転

前項で元に戻る回転を正規直交基底の置換によってつくった 正規直交基底の置換の連続化では回転が部分空間化している したがって、正規直交基底の頂点が張る部分空間の「元に戻る回転」を、正規直交基底の置換による回転行列から作ろう k+1次元で回転を作っ…

体積計算

単体の体積の計算は、行列式の計算で一発 こちら SimplexVolume<-function(x,Factorial=FALSE){ n<-length(x[,1]) #d<-t(x[2:n,])-x[1,] d<-apply(x,2,FUN="diff") if(Factorial){ ret<-log(abs(det(d))) - lfactorial(n-1) }else{ ret<-log(abs(det(d))) } …

たくさんのひと、対等な関係

ここで、任意人数の取引における状態の時間変遷のとらえ方・表示の仕方についてコメントした こうだろうなと思う ある個人の富の量の時間変遷をプロットしている。横軸に時間、縦軸に富の量である 知りたいのはN人全体の富の分配状態の時間変化 2人のグラフ…

60度か直角か

正単体は正三角形を多次元に貼り合わせて作る 正三角形を構成する3辺のうちの2辺は60度の角をなす ある辺とその辺自身とのなす角は0度 三角形を構成しない辺同士は直交する k個の頂点を持つk-1正単体 辺の数は 原点から、正単体の辺のベクトルをとる 辺の…

正単体格子

k次元立方格子は、相互に直交するk個の単位ベクトルを用いて(ただしは整数)が格子点を表す 似たようなことなので、k次元空間にある、頂点数k+1の正単体の頂点ベクトルを用いて、正単体格子の格子点の座標を表そう (ただしは整数)は、格子点である 立方格子と…