7 Surface Parameterization またしても、ぱらぱらめくる『Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction』

• 球面を平面に直すとゆがむ
• 長さと角度の両方を保存して平面化できないことを意味する
• 長さのゆがみは許容して、角度だけは保存することはできる。共形変換と言う
• 共形変換は平面を複素平面としてみることで説明することが多い
• 純虚数は複素平面での1/4回転を意味する
• 7.1 Conformal Structure
  • 曲面上の接面において、法線を軸に1/4回転することは、接面上ベクトルに対して、法線単位ベクトルとのクロス積を取ることに相当する
  • 接平面における虚数単位演算にも見える
• 7.2 The Cauchy-Riemann Equation
  • 複素平面で考える
  • コーシー-リーマンの関係式は等角を満足するための条件なので、共形変換を考えるときに、これが成り立っていることを使う
  • 共形変換として適当なものを探す、とは、コーシー-リーマンの関係式が成り立つような写像を探したい、ということになる
  • 2次元平面は3次元空間に埋め込まれている
  • 2次元平面の各所に複素数を張り付けたい(複素平面にマッピングする)
• 7.3 Differential Forms on a Riemann Surface
  • 離散外微分的にコーシー-リーマンの関係式をとらえることで、活用したい
  • k形式はk個のベクトルをとってスカラーを返すが、このスカラーが複素数というスカラーでもよいとすれば、そのスカラーが複素平面上の回転を表していれば、回転を求めることになる
  • 接平面上のベクトルをある方向成分を取るとそれはベクトルで、それのホッジを取ると2形式になり、それはベクトル様。あるベクトルを接平面1/4回転してそれのある方向成分を取ることもできる。これは、第１の方法で出てきたベクトルと同じであればちょうどよい
  • これがなるべく一致するような複素数場を離散メッシュに見つければよい
• 7.4 Conformal Parameterization
• 7.5 Eigen Vectors, Eigenvalues, and Optimization
  • 離散・線形代数計算なので、最適解を求めるのに、線形代数を活用する