ぱらぱらめくる『結び目的思考法のすすめ』(数理科学2020年4月号)

  • 結び目的思考法のすすめ
    • アレキサンダー多項式
    • ジョーンズ多項式
    • 多項式不変量
    • スケイン関係式
    • 代数的タングルと結び目の分類
    • 結び目の補空間の3次元多様体研究
      • 任意の3次元多様体が、結び目・絡み目に沿った手術で構成可能
    • 基本群
      • 基本群のPSL(2,C)表現
      • 多くの結び目に双曲構造~負の低曲率空間の構造が入る
      • 結果として、すべての3次元多様体に何らかの整った幾何構造が入るという「幾何化予想」
    • ジョーンズ多項式から:
      • 作用素環への表現とそのトレースから構成された不変量
      • 統計物理的な解釈
      • 量子群よる解釈
      • 量子不変量
      • 位相的量子場
      • 3次元多様体の不変量に一般化
  • 微分幾何と結び目
    • 曲率・捩率、フレネ=セレ動標構
    • 曲率・捩率は局所的な量→全体量は積分で得られる
      • 結び目が非自明ならば、全曲率は4\pi以上
      • 結び目の橋指数の2\pi倍が全曲率
    • 全二乗曲率:曲線全体の集合上定義される
      • 臨界点に相当する曲線というものが、曲線全体の集合上にあり、それは全二乗曲率の1階微分がゼロであるようなもの
      • 臨界点の中で安定な臨界点に当たる曲線は弾性曲線
    • 絡み目と絡み数
      • 絡み数はある結び目がもう一つの結び目に、符号込みで何回巻き付いているかを表す数
      • 自己絡み数、全捩率
      • 結び目のエネルギー、ベータ関数、留数
    • 大域的曲率
      • 最小大域曲率半径は結び目の太さ
  • 特異点と結び目
    • 代数曲線の特異点が結び目
    • 代数曲線をトーラスの展開図に描いて、展開図をトーラスに戻すと結び目になる、というような関係
    • 任意の絡み目は、S3からR2への安定写像特異点集合として実現できる(佐伯の定理)
    • 任意の絡み目はS3からC3への可微分埋め込みのRC特異点集合として実現できる
  • 結び目を代数化する(カンドルという考え方)
    • カンドルはライでマイスター変形を代数的に記述したもの
    • 対称性との関係
  • 群による結び目の研究
    • 基本群を使う
    • 基本群は「空間に輪っかがどれほど引っかかるか」を表した群
    • 結び目群:補集合の基本群
    • 群を用いて不変量を取り出す
      • 例えば絡み目数
      • 絡み目数を一般化してミルナー不変量
    • 群準同型を使って、さらに不変量取り出しに使う
  • 計算機と結び目
    • 「与えられた結び目がほどけているかどうかを判定すること」はP vs. NP 問題的にどうなの??と言った話
  • 組み紐の考え方と広がり
    • 上下端を固定して、組み紐・組み紐群とする。あみだくじっぽいもの
    • Foliationとかする
    • 配置
    • 超平面配置
    • 写像類群
    • 組み紐群には、デホノア(Dehornoy)順序と呼ばれる自然な左順序(左作用で不変な全順序)が定まる
  • グラフと結び目
    • 球面上のグラフにする
    • オイラーの多面体公式
    • 次数辺数関係式
    • 結び目射影図の面数公式
    • 多面体の面数公式
    • 空間グラフ理論(参照)
  • 作用素環と結び目
  • 場の理論と結び目
    • 物理を使って結び目不変量の数学を説明しようとすることでつながりが見えてくる

2D,3Dのボロノイ分割と外心との関係

  • 2次元に凸四角形を作り、その4頂点が作るすべての三角形の外心を列挙すると、一般的な場合に4つの外心が現れる
  • それらと、四角形の辺の中点とを結んだ線がボロノイ分割を構成し、それでつながらないところは、2個の外心を結ぶことでボロノイ分割が完成する
  • これを3次元に拡張すると、凸5頂点立体(凸6面体)で考えることになる
  • このとき、5つの四面体が5つの四面体外心を作る
  • この5つの四面体外心のうち、ボロノイ分割に使用される外心の数は、2個または3個になるらしい
  • それについてのぐちゃぐちゃとした考察

3次元でのドロネー三角化とボロネイ多面体化

  • 平面に点を撒いて、そこに三角形埋め尽くしを作る方法にドロネー三角化があり、その双対としてボロノイ図がある。ボロノイ図では多角形充填が得られる
  • その3次元版もあって、3次元空間に点を撒いて、四面体で空間を分割する。その双対がボロノイ分割で、それは多面体充填分割になる
  • ボロノイ多面体の境界は、撒いた点を結ぶ線分の垂直二等分面で構成される。1つの四面体の6つの辺の垂直二等分面は1点で交わる(四面体の外心)が、その点から、四面体4頂点までの距離は等しい。ボロノイ多面体をグラフとして描くと、隣り合うドロネー四面体の外心同士を結んだものとなる
  • 四面体は必ず4つの四面体と隣り合うから、このボロノイ多面体グラフは4正則グラフになる(周囲を除く)

京大学部入試数学をRでお絵描き・ごり押しする

  • 2月25日は学部入試前期日程初日。例年通り、京大でも数学の試験がありました。
  • 問題と解答は予備校のサイトを参照(こちら)するとして、Rを使って描いたりして、どういう問題なのかを表現してみることにします
  • 問1は3次関数の複素数解の話。実部も虚部もゼロになる点が解であることを図で示してみました

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問1

  • 問2は、ごり押しだと計算が発散するタイプの問題。要求式を収束する形に変形することに気づけば、計算機でも収束の様子を視覚化できます。整数べき乗なら実数値になるが非整数べき乗だと複素数になる複素関数の収束として視覚化してみました

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問2

  • 問3は、3次元の単位ベクトルの内積の話。条件からどういう1パラメタ設定に落とせば、図示も楽

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問3

  • 問4は計算機が最も得意とする、大した個数ではない悉皆探索問題として解けます
  • 問5は順列・組み合わせ問題。4x4行列の場合列挙だったので、少し時間がかかりますが、計算機でしらみつぶしに計算できます
  • 問6は3次元のイメージがわけば、方針が立ちやすいでしょう。Rで図にして、必要な関数式を導けばよいようです

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問6

  • Rのコード

パラパラめくる『Polyhedral and Algebraic Methods in Computational Geometry』

  • 目次
    • 1 イントロと概観
    • Part I Linear Computational Geometry
      • 2 Geometric Fundamentals; 射影空間、射影幾何
      • 3 Polytopes and Polyhedra; (超)多面体
      • 4 Linear Programming
      • 5 Computation of Convex Hull
      • 6 Voronoi Diagrams
      • 7 Delone Triangulations
    • Part II Non-linear Computational Geometry
      • 8 Algebraic and Geometric Foundations
      • 9 Grobner Bases and Buchberger's Algorithm
      • 10 Solving Systems of Polynomial Equations Using Grobner Bases
    • Part III Applications
      • 11 Reconstruction of Curves
      • 12 Plucker Coordinates and Lines in Space
      • 13 Applications of Non-linear Computational Geometry
  • 2 Geometric Fundamentals
    • 射影幾何を使うのは、平行線ペアにも交点を持たせる枠組みを導入し、平行かそうでないかというような例外扱いを省略できるという利点があるようだ
    • さらに、線形計算ですべて片が付くというのも魅力
    • 射影空間の「点」は原点を通る直線(x_0:x_1:...:x_n)^Tに相当するが、射影空間での超平面は、複数の係数の同次座標的表現u_0:u_1:...:u_nになるが、射影空間の「点」は、この超平面上では、[tex:=0]を満足するようなxに「ある」とみなせる
    • 直線・平面・超平面は線形等式、向きを考えると線形不等式、内部・外部の区別も不等式
  • 3 Polytopes and Polyhedra
    • 凸多面体を扱うことにするらしい
    • モーメントカーブというものが、大事な代数幾何的要素らしい
    • モーメントカーブというのは、(t,t^2,t^3,...)という点を結んでできた曲線で、この曲線上の点を頂点とする凸多面体が(必ず?)作れるという意味で、凸多面体を扱うときに出てくるらしい
    • 3次元空間にそのようなモーメントカーブを描きつつ、その曲線上にm > 3個の点を取って、凸包を作らせて図示してみよう

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    • Polytopeを頂点集合とそれが張る凸包と見ることもできるが、(超)平面によって囲まれたものと見ることもできる(V-表現とH-表現と呼び分ける)
    • ポセット構造も持つ
    • 内部に原点を持っていると(そのような場合をpolarityありと言うそうだ)、双対が取れて、n次元面には、k-n次元面が対応するというような対応構造が取れる
    • 組み合わせ幾何的に考えていくと、オイラーの式が(-1)^kを係数として一般型として表れる
    • 球面上の乱点からランダム多面体が作れる
    • Minkowski sum of a polytopeと言うのがある…要、確認
    • SAGEにも入れられる polynajeなるアプリを使うと、いろいろ試せるらしい(モーメントカーブ上に点を持つ、cyclic多面体を作って、その点、線分、面、…の数を出したり、超面と頂点との関係行列を出したりできる(こちら)
  • 4 Linear Programming
    • 連立線形不等式が多面体を定めるので、それに基づくアルゴリズムが提唱されている
  • 5 Computation of Convex Hull
  • 6 Voronoi Diagrams
    • 空間に点集合があれば、空間の任意の点を、最近点にて分割することができて、それがボロノイ分割
    • n+1次元空間の開放多面体を射影するとn次元空間のボロノイ分割に対応することが、多面体におけるボロノイ分割の役割らしい
  • 7 Delone Triangulations
    • ドロネー三角化はボロノイ図の双対
    • したがって、ボロノイ分割を多面体の写像と見たのをドロネー分割にも適用することができる
  • 8 Algebraic and Geometric Foundations
    • Non-linear にする
    • 多面体を1次線形代数でやっていたのを、高次式にして、代数多様体で考えることでNon-linearにする
  • 9 Grobner Bases and Buchberger's Algorithm