幾何代数
- 「代数幾何(algebraic geometry)」と「幾何代数(geometrix algebra)」は違う
- Geometric algebraはgeometric productを使う。Geometric productは「スカラーとベクトルの和()」を返す
- 線形代数はユークリッド幾何に使いやすい
- 非ユークリッド幾何(の中でも特に射影幾何)に広げたい
- 外積代数・グラスマン代数を使う
- n次元空間にn個のベクトルを基底として取るかわりに2^n個の基底を取る。さらに双対空間も使う…
- グラスマン多様体で検索するとRのパッケージ(GrassmannOptim)が引っ掛かる(こちら)。関係しているかしていないか未確認。grassoptパッケージも。
- Grassmann Manifold Optimizationに関するスライド(こちら)
- 日本語資料
- グラスマン多様体最適化はリーマン多様体上の最適化の一つ
- その心は
- 制約条件付き最適化は制約条件なし最適化よりも面倒
- 制約条件を「多様体上」と置き換えて、『多様体上で』『制約条件なし』の最適化、と問題を置き換える
- その上で、n次元実数空間上の条件なし最適化手法を多様体上でできるように拡張する
- n次元実数空間上の条件なし最適化には、初期点を与え、最大化・最小化関数の勾配に沿って登っていく方法があるが、それを多様体上でやる
- 多様体上でそれをやるには、多様体上ので勾配が必要でそんなことから微分幾何になる
- 多様体上最適化は、どんな多様体を使うかで計算関数的にはバリエーションができる
- グラスマン多様体上の最適化は多様体としてグラスマン多様体を使うバージョン
- ちなみに、が一定であるという制約条件は、球という多様体上の制約条件なしに切り替えることができるが、という制約の下での二次形式の関数の最大最小はレイリー商で出るっていうのも関連する話題(レイリー商)
- 自分の過去メモ
- その他、サイト(こちら,こちら)や本
- 簡単なバージョン
- これもよい
- Versorというアプリの実装解説書で、これもよい
- 射影幾何との関係でのクリフォード代数
Linear Algebra and Projective Geometry (Dover Books on Mathematics)
- 作者: Reinhold Baer,Mathematics
- 出版社/メーカー: Dover Publications
- 発売日: 2005/08/23
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