■ - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

超幾何関数はいろんな関数を表せる一般表現
- ガウスの超幾何関数は超幾何微分方程式で定義される１変数の超越関数
  - なんでこんな変な微分方程式？という向きにはこちらの冒頭
  - そんなこと書かれてもイメージわかないし！、というときのためのグラフこちら
- こちらにかいつまんで書いてある(かいつままれすぎて、最初に読むのがこの記事ではつらいが、Ikuro氏の長文を読んで(わからないなりに)見晴らしが良くなってから返ってくると、「かいつまんである」ことが良くわかる
微分方程式の２つの解の比を考えて、代数関数かどうかを調べる(こちら)
- この解の比をとるところが「射影幾何」的
- 代数関数かどうかを調べるときに、対称性・有限群を使う
- 『モノドロミー群が有限群ならば超幾何関数は代数関数である』
- 楕円幾何・ユークリッド幾何・双曲幾何とも繋がって行く
- 超幾何関数の挙動は、それを積分形式で表すときに用いる「被積分関数」によって特徴づけられるが、それを見ると、(0,1,1/x,無限遠)の４点を「分岐点」とすることがわかるのだが、この「４点」を『複比を作る４点』ということと結びつけて考えると、「微分方程式の２つの解の比」が複比保存とつながって行く
  - ４点による「配位空間」である、と表現するのだが、これを一般化していくと射影直線におけるn点での配位空間とか、射影平面におけるn点の配位空間とか、という発展をする
- ついで「不変量」というのが関数の形で出てくる
  - 不変量は入れ替えても変わらない、という意味で、「入れ替え〜対称性」つながりで群論へ、「変わらずに保つ」ということで保形関数とかにつながる(らしい)
この分野は、結局「射影微分幾何」という分野らしく、そのスライド
射影微分幾何を線形合同微分方程式とのつながりで書かれたPDF(こちら)
以下のリンクは以前の記事の再掲になるが
- 複比・パラケーラー・測地カレント
- 何か関係あるかも、とメモThird Order Linear Differential Equations
- 自分で書いた超幾何関数メモ
- 絵があって少し親切なPDF(こちら)
- 射影はさらにグラスマニアンへと一般化される。そこでは外積代数が活躍する。外積代数、Plucker embeddingとかは行列の組み合わせお化けのようなもの。3Dオブジェクトのグラフィクスなんかにも活躍する話
- ぱらぱらめくるための本、購入