楕円曲線と射影平面

  • 楕円曲線というものがあるという(Wiki: こちら)
  • 2次元ユークリッド平面でx,yを使って式を書いてもよいが、射影平面で考えると「非特異な射影代数曲線」との呼称ができて、わかりやすいらしい
  • 楕円曲線を2次元ユークリッド平面に描き、それに遠近法で無限遠点を1点に収束させて描くと、その曲線は無限遠点に向かう
  • 遠近法での見え方を2次元プロットするためには、(x,y)座標を線形変換で「斜め」にするとともに、遠くに行くとだんだん間隔が狭くなるようにする必要がある
  • そのような変換では、同次座標を使う(線形変換行列では3x3行列を使う)。そのうえで、第3座標で第1、第2座標を徐することで、そのような絵が描ける
  • この線形変換・座標計算は、射影空間座標の扱いそのものである
  • そして、このようにとらえると、楕円曲線上の一般的な2点を結んだ直線が無限遠点で交わることもわかる
  • この収束する1点を基点と呼び、それを使って「楕円曲線は特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線」と言うらしい
  • ちなみに射影多様体Wikipediaにある図はそのことを表すとともに、楕円曲線上の点に群構造が入っていることを説明している

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  • 以下のRコードは、y^2 = x^3 + 1を透視図法で描くもの