配置空間　ぱらぱらめくる『私説超幾何関数』 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

1. 配置空間
- 基礎事項
  - 類別(カテゴリに分けること)。その分類基準が同値関係。類には代表を置くことがある。類の集合を商空間という。これをと書く。
    - 商空間はある集合を、別の集合から0を除いたもので除したものの一般化。有理数は、整数集合を0を除いた整数集合で除した商空間。射影直線・一次元射影空間も0以外で除して同値関係によって束ねた商空間
    - 商空間はわかりにくいので、わかりやすくすると便利。そのわかりやすくすることを実現という。射影直線の集合をy=1平面の点で考えることは実現。複素数のペアの差が $2 \pi i$ の整数倍のときに同値関係とすれば、複素数全体はある部分空間のみで考えることができるが、これも実現。群があって、群の演算のによって移り変わる要素を類としてくくると、群Gの軌道と呼ばれるものができる。群の代わりに群の集合を持ってきて、同値関係を、いずれかの群演算で移り変わるもの、として類にくくることもできる
  - 指数関数・対数関数・冪関数
    - 指数関数は複素平面上のすべての点において絶対収束するべき級数 $exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ であって、 $dz/dx=z,z(0)=1$ のただ一つの解。このように定義される指数関数から出発して $\sin, \cos, \pi$ を定義する。特に $exp(ix)=-1$ を満足する最小の正の数が $\pi$ である。これが入ってきて、 $exp(2\pi i)=1$ と、 $exp (x+y) = exp(x) exp(y)$ となることとを合わせると、指数関数が、周期 $2\pi i$ の周期関数であることとなる。 $exp(x)$ は0二ならないから、複素数全体から0を除いた集合について指数関数は類を与え、商空間の実現として半径1の円周が得られる
    - 対数関数はあるものの積分として定義する。0を除く複素数全体について、1から複素数zまでの道を考える。この道 $C_z$ 上で $\int_{C_z}\frac{1}{\zeta} d \zeta$ なる積分を考えると、これは道について[0,1]のパラメタ表示を考えて $\int_0^1 \frac{C_z'(t)}{C_z(t)} dt$ に等しく、これは道を滑らかに変化させるとき、道の取り方を変えても変わらないことが知られており、これを対数関数 $\log(C_z)$ とする。この道の取り方として、絶対値の増減と周回とに分けることができて、そのようにすると、複素数の角座標表現に基づく対数関数の取り扱いが出てくる。 $\log(C_z) = \log(|C_z|) + i \times arg(C_z)$
    - 冪関数は指数関数と対数関数の組み合わせ $exp(a \log (C_z))$ として定義される

z <- rnorm(1) + 1i * rnorm(1)

R <- Mod(z)
theta <- Arg(z)

log(R) + 1i * theta
log(z)

exp(z)

R * cos(theta) + 1i * R *sin(theta)
a <- runif(1)
exp(a*log(z))

n <- 10000
X <- matrix(runif(n^2,min=-0.1,max=0.1),n,n)
X. <- X[,1] + 1i * X[,2]
Y <- exp(a * log(X.))
# zは複素数のベクトル
# int0,int1はintensityの上下限、sat0,sat1はSaturation(彩度)の上下限
my.hsv <- function(z,int0=0.6,sat0=0.3,int1=1,sat1=1){
# 複素数の偏角
	arg <- Arg(z)
	s <- which(arg<0)
	arg[s] <- arg[s]+2*pi
# 複素数の絶対値
	r <- Mod(z)
# 絶対値が非常に大きくてもそこそこの色になるように対数変換
	s <- which(r>1)
	r[s] <- log(r[s])
# 絶対値で周期性が出るように4のmod
	r. <- 4*(r%%1)
	k <- floor(r.)
	r. <- r.-k
# 明度が上限、明度が下限、彩度が上限、彩度が下限の４パターンを
# 4のmodに対応づける
# 明度・彩度を動かすときは、複素数の絶対値で１次線形変化
	inten <- sat <- rep(0,length(r))
	s <- which(k==0)
	inten[s] <- int1
	sat[s] <- sat1-(sat1-sat0)*r.[s]
	s <- which(k==1)
	inten[s] <- int1-(int1-int0)*r.[s]
	sat[s] <- sat0
	s <- which(k==2)
	inten[s] <- int0
	sat[s] <- sat1-(sat1-sat0)*(1-r.[s])
	s <- which(k==3)
	inten[s] <- int1-(int1-int0)*(1-r.[s])
	sat[s] <- sat1

	return(cbind(arg,inten,sat))
}
my.hsv2rgb <- function(h,s,v){
# 色相の6 のmodでぐるりの情報を作る
	hi <- floor(h/(2*pi)*6)
	hi[which(hi==6)] <- 0
# 色相のぐるりの余りをfに入れ、それと明度・彩度とでp,q,tという３変数を決める
# ３変数を色相からの値を取らせる１つの原色を除いた２原色の値を定めるために使う
# 使い方は巡回させることでうまいことやる
	f <- (h/(2*pi)*6) %%1
	p <- v*(1-s)
	q <- v *(1-f*s)
	t <- v *(1-(1-f)*s)
	r <- g <- b <- rep(0,length(h))
	s <- which(hi==0)
		r[s] <- v[s];g[s] <- t[s]; b[s] = p[s];
	s <- which(hi==1)
		r[s] <- q[s];g[s] <- v[s]; b[s] = p[s];
	s <- which(hi==2)
		r[s] <- p[s];g[s] <- v[s]; b[s] = t[s];
	s <- which(hi==3)

		r[s] <- p[s];g[s] <- q[s]; b[s] = v[s];
	s <- which(hi==4)
		r[s] <- t[s];g[s] <- p[s]; b[s] = v[s];
	s <- which(hi==5)
		r[s] <- v[s];g[s] <- p[s]; b[s] = q[s];
	return(cbind(r,g,b))
}
col <- my.hsv(Y)
col <- my.hsv2rgb(col[,1],col[,2],col[,3])

plot(X,pch=20,cex=1.5,col=rgb(col[,1],col[,2],col[,3]))

- 射影空間と射影変換
  - k次元射影空間は、k+1次元線形空間の商空間である。どうやって「商」をとるかと言えば、基底に対して取られる座標について、その比をとり比が等しいものを同値とみなすことによる商空間。基底を取りかえると座標も変わるが、それに応じて、座標の比(これは商空間の類)も変わる。基底の取り換えを正方行列で表せば、それは一般線形群になっていて、この一般線形群は、座標比に作用して、この座標比の変換を射影変換群と呼ぶ
  - k+1次元空間での座標変換が(k+1)^2正方行列で表されるとき、その射影空間での変換(射影変換)は、分数一次変換 $\frac{\sum_{i=0}^k a_iy_i}{\sum_{i=1}^k b_i y_i}$ で表される
  - １次射影空間は、同時には0でない２つの値の比の集合だが、それは、２つのうちの後者が0でないときの2つの値の比と、{1,0}との和集合とも言い換えられる。この「比」は数直線(体Kの全体)であるから、「体全体」と１点の和。
  - ２次射影空間は、体の直積全体と、１次射影空間の和集合。３次のそれは、体の３乗と２次元射影空間の和集合…。結局 $P^k = K^k \cup K^{k-1} \cup K^{k-2} \cup ... \cup K \cup \{1:0\}$ となっている。
  - このような射影空間上の点は、射影変換群により他の点に移りあうという意味で、射影変換群に関して平等な点の集まりであって、無限遠に相当する点もある基底に関してそうなっているにすぎない。その意味で射影空間上のすべての点は平等
- １次元射影空間(射影直線)上の射影変換によって、任意の異なる３点が(無限遠、0,1)に移せる
  - 射影直線上の３点はそれぞれ２つの数の比で表せる。0:0以外なら何でもよいので(k1x1,x1),(k2,k2,y2),(k3x3,k3)のようにして、x1,y2,x3は0であるかもしれないが、k1,k2,k3はいずれも0でないものとする。このとき、行列 $\begin{pmatrix}k1x1 & k2 & k3x3\\ k1 & k2y2 & k3 \end{pmatrix}$ に左から３つの正方行列を作用させる
  - このことから、「任意の３点」→「任意の３点」となる射影変換があることがわかる
  - では「４点」→「４点」となるような、その「４点」にはどんな制約があって、どのゆな射影変換と対応するか、ということを次に問題にする
    - それは「４点の組」は線形変換作用で類別したときに、すべてが同値関係でくくられるわけではなくて、複数の(多数の、無限に多くの？？)類に分けられるということなので、そういった語り方でこの問題を進めていくことにする

# 適当に作る
k1 <- rnorm(1)
k2 <- rnorm(1)
k3 <- rnorm(1)
x1 <- rnorm(1)
y2 <- rnorm(1)
x3 <- rnorm(1)

P <- matrix(c(k1*x1,k1,k2,k2*y2,k3*x3,k3),2,3)
P
# 最初に第１，２列に関する正方行列の逆行列を作用させる
M <- P[,1:2]
M.inv <- solve(M)
P. <- M.inv %*% P
# 次に、第３列の第１行成分を１にするような行列を作用させる
N <- diag(c(1/P.[1,3],1))
P.. <- N %*% P.
# 次いで、第３列第１行成分をそのままに、第２行成分を１にするような行列を作用させる
L <- diag(c(1,1/P..[2,3]))
# 第１、第２列はどちらかの要素が０なので、０出ない要素は１に換えても射影直線上ではＯＫなので、これで無限大、０、１に移せたことになる
round(L %*% P..)

## 初期の点のセットに、無限遠点を混ぜても大丈夫
k1 <- rnorm(1)
k2 <- rnorm(1)
k3 <- rnorm(1)
x1 <- rnorm(1)
y2 <- 0
x3 <- rnorm(1)

P <- matrix(c(k1*x1,k1,k2,k2*y2,k3*x3,k3),2,3)

M <- P[,1:2]
M.inv <- solve(M)

P
P. <- M.inv %*% P
P.. <- P.
N <- diag(c(1/P.[1,3],1))
P.. <- N %*% P.
#P..[,3] <- P..[,3]/P.[1,3]
L <- diag(c(1,1/P..[2,3]))

round(L %*% P..)

- - これを関数にしておこう

my.st.proj <- function(P){
	M <- P[,1:2]
	M.inv <- solve(M)
	P. <- M.inv %*% P
	P.. <- P.
	N <- diag(c(1/P.[1,3],1))
	L <- diag(c(1,1/P..[2,3]))
	L %*% N %*% M.inv
}
my.st.proj(P)
my.st.proj(P) %*% P

- 不変量と配置空間
  - １点は別の１点に移せる。「平行移動と回転」とからなる線形変換群作用に関して、商空間は１点である、と言い換えられる。２点の組は、２点間の距離が等しい点組同士なら移せる。点距離によって類別されると言い換えられる。変換の不変量が距離であることに対応する。３点の場合には、３点が三角形の頂点であるとして、三角形として合同な３点組同士は類をなす。三角形が合同であることを示す条件のセットが不変量。たとえば３辺の長さという３情報のセットが不変量。２辺の長さとその間の角の大きさという３つの情報のセットでもよく、これも不変量
  - 射影直線上の順序のあるn点の射影変換における類別を考えるとき、n点を同じ射影変換で移しあえることを持って同値としたときにできる類別具合〜商空間を「射影直線上の異なるn点のなす配置空間」と呼ぶ
- 複比
  - 射影直線上の３点を無限遠、０，１に移す射影変換は一意に決まるから、４点に対して、そのうちの初めの３点に関して、そのようにする変換を作用させれば、４点目はどこかしらに移る。その移る先は、４点の取り方による。この「３点は標準的な点に移したときに、最後の１点が移った先」によって類別することができる。この最後の１点が移った先を『複比』と呼ぶ
  - 複比は、３点が移った先とは重ならないから、体Kから0,1(と無限大)とを除いた値を取りうることもわかる
  - この方式で複比lambdaを計算する関数を作っておこう

my.cross.ratio.mat <- function(M){
	tmp <- my.st.proj(M) %*% M
	lambda <- tmp[2,4]/tmp[1,4]
	return(list(X = tmp[,1:3],X2 = tmp,lambda=lambda))
}
M <- matrix(rnorm(2*4),2,4)

my.cross.ratio.mat(M)

- 複比よりもっとよいものをみつけよう
  - 複比は第１、第２、第３、第４の点のうち最初の３つを標準化に使って最後に４つ目の点によって複比を求める方法であって、４点の間に平等感がない
  - これを平等にする
  - 複比は結局、４ｘ２の値から一つの値を取り出す関数である
  - 今から述べる複比に代わるものは、４ｘ２の値から、４点の対称性を考慮して、一つの値で決まる、３つの値からなる比を引き出す(３つの値の比は２次元射影空間(射影平面)、ただし、制約があるから、１次元亜空間になる)。
  - 1,2,3,4 ~ i,j,k,lについてその順番を換えても同じようになるものとして、D(ij) (i,j列を取りだした２ｘ２行列の行列式)について、D(ij)D(kl), D(ik)D(jl), D(il)D(jk)なる３つの値の比が等しくなるように取り出す。
  - 今、2x4行列x が2x4行列yに移るときにそれが同値であるとして、その移り変わりを、2x2行列Aと4x4対角行列aとを使って y=Axaと表せるとしたとき、 $D(ij)D(kl):D(ik)D(jl): D(il)D(jk)=\lambda -1 : -1 : \lambda$ となる(ただし $\lambda$ は複比)。

M <- matrix(rnorm(2*4),2,4)
DM <- c(det(M[,1:2]) * det(M[,3:4]),
det(M[,c(1,3)]) * det(M[,c(2,4)]),
det(M[,c(1,4)]) * det(M[,c(2,3)]))

A <- matrix(rnorm(4),2,2)
a <- diag(rnorm(4))

N <- A %*% M %*% a
DN <- c(det(N[,1:2]) * det(N[,3:4]),
det(N[,c(1,3)]) * det(N[,c(2,4)]),
det(N[,c(1,4)]) * det(N[,c(2,3)]))

DM / DN

tmp <- my.cross.ratio.mat(M)
tmp.v <- c(tmp[[3]]-1,-1,-tmp[[3]])
DM/tmp.v
DN/tmp.v

- - D(ij)D(kl) - D(ik)D(jl) + D(il)D(jk) = 0という関係でもある
  - ４点を１次元射影直線上の４点に表し、さらに、それを射影変換において類別して、商空間に対応づけることを考える。この商空間は複比という値が作る射影直線であり、射影直線は無限遠で閉じているので、結局、輪の上の点に対応づけられることになる。複比には取れない値があり、その数は３つあるから、この輪は３つの取れない値によって３つの弧に分けられる。実際、この３つの孤は４点が(第１点を基準にしても一般性は変わらないのでそれを固定して)、並ぶ並び順1234,1243,1423の３通りに対応している。この輪であるところの射影直線は、「実現」である
- これはy=Axa という変換(x,yはk次元ベクトルがn個束になったkxn行列、Aはkxk行列、aはnxnの対角行列)で、x,yが同値関係でむすばれるときの商空間の問題になるが、実は、これは不変式論と言って代数幾何の長年の中心問題なのだそう…。ここでnxnの対角行列、というところが、n変数の連立常微分方程式での行列の指数関数の対角成分に対応している（？）。これが、そもそも、これを調べ始めたきっかけで…)
- グラスマン同型とカーネルと
  - ２次元から１次元に射影するとき、３点までは商空間が１点で、４点にすると商空間が輪になった。これは2x4行列は2x2行列の分はつぶれたりしないで１対１対応を作れるが、２列分はどこかに吸収されないといけないことを意味していて、そのつぶれる次元の１つが射影でつぶす分、もう１つは、商空間の１次元座標に吸収される。
  - このように、kxn行列があったときに、つぶさないといけない次元n-kのことを考える必要があり、逆に、このつぶす部分が射影の後も残る限りはそれは商空間として類別されることとなり、それが「配置空間」の存在を意味する。
  - したがって、(n-k) x n行列が作るカーネルとかを使ってそのことを考えましょう、というのがグラスマン同型
- ４点について順序をなくして同一視するとする。複比で考えれば、複数の複比が同じ類に対応づけられる。実際 $\lambda, \frac{1}{\lambda},1-\lambda, \frac{1}{1-\lambda},\frac{\lambda}{1-\lambda},\frac{\lambda-1}{\lambda}$ が同値関係を作る。
- これらに対応するのがという不変式。
  - この４、２７は楕円曲線( $y^2 = x^3 + a x +b$ )が非特異であること、非特異であることの判別式が $\Delta = - 16 (4a^3+27b^2) \ne 0$ とつながってくる(ようだ)
- これは複比 $\lambda$ を用いた式であったが、点平等に留意して部分行列の行列式で表せば[tex:\frac{*1^2+D(13)D(24))^2+(D(14)D(23))^2)^3}{(D(12)D(34))^2(D(13)D(24))^2(D(14)D(23))^2}]

*1:D(12)D(34