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超幾何積分と背負ってる回路X(2,4)の一意化　ぱらぱらめくる『私説 超幾何関数』

ぱらぱらめくるシリーズ 超幾何関数 射影幾何 複比 楕円関数
  • 4. 超幾何積分と背負ってる回路
    • 超幾何関数には積分表示というのがあって、F(a,b,c;z) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b} dtとなっている。
    • X(4)とかに慣れてきているので、t^A(1-t)^B(1-tz)^Cとかを見ると、特異点0,1,1/t,無限大が頭に浮かぶ
    • また、滑らかな多様体上である点から出発して元に戻ってくる経路を考え、その経路を滑らかに変化させても変わらないような積分がその上にあると、特異点の周りを回らなければ、出発して（実質は動かずに）すぐに戻ってくる経路と同じなので、積分は0になることを思い出せば、なんだかこの積分が、複素平面上に特異点があって、その特異点の配置の具合と、特異点をどういう風(時計回りか反時計回りか、とか)に回るかで分類された経路との関係で類別されそうなことはわかる。
    • 本章はその話。