2019-09-18

3次元回転の群

回転３次元回転群四元数射影幾何

３次元の回転は、単位四元数であらわされる。 $\cos{\frac{\theta}{2}} \mathbf{1} + \sin{\frac{\theta}{2}} (\alpha \mathbf{i} + \beta \mathbf{j} + \gamma \mathbf{k})$
これは、 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 方向(単位)ベクトルを軸に、角度 $\theta$ の回転に相当する
この回転を、 $\theta,\alpha,\beta,\gamma$ をパラメタにして配置すると、 $0 \le \theta < 2 \pi$ ととれば、半径 $2\pi$ の３次元球(中身の詰まった)に相当する
ここで、原点は、回転角が0なので、無回転＝何もしないに相当する。半径 $2\pi$ の球面上の点は、すべて回転角が $2\pi$ であり、これも、結局何もしないので、この球面と原点は同一視されるべきである。また、 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 軸での $\theta$ 回転と $(-\alpha,-\beta,-\gamma)$ 軸での回転 $-\theta$ も同じなのでこれらも同一視されないといけない
あっちもこっちも同一視して貼り付けないといけなくて、こんがらがる
このなめらかに閉じた３次元回転の多様体は、以下のように、回転角の取り方を少し変えて、定義するのが普通である
回転角を $0 \le \theta < 2\pi$ と取る代わりに、 $-\pi \le \theta < \pi$ と取る
こうすると、自然に、 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 軸での $\theta$ 回転と $(-\alpha,-\beta,-\gamma)$ 軸での回転 $-\theta$ とが同一の場所として表されるので、これらを同一視する問題は、座標取りによって解決される
前の座標取りでは、原点と半径 $2\pi$ の点との同一視が必要だったが、今度の座標取りでは、半径 $\pi$ の球面の対蹠点の同一視がそれに対応する
結局、３次元回転は、半径 $\pi$ の充実球であって、その表面について、対蹠点同一視をすることに相当する
射影幾何ではn次元球の表面を対蹠点について同一視したものを、 $RP^n$ 射影平面と呼ぶので、３次元回転が $RP^3$ に相当することがわかる
一つ次元の低い $RP^2$ は、円板があって、その外周を張り合わせたものであることはこちらの記事に書いた通りで、２次元多様体である閉曲面として $RP^2$ は $S^2,T^2$ (球面とドーナツトーラス]と合わせて基本閉曲面３要素の一つになっている
２次元射影平面が円板の外周対蹠点同一視であることをもう少し、同次座標にも言及しつつ、お話し風に書いておく
今、射影平面は、 $(\lambda x, \lambda y, \lambda)$ というように表す。これにより、３次元空間にある原点を通る直線が射影平面の点に対応する
直線が、原点を通り、z=1平面と交わることなく、xy平面上にある場合は、射影平面では「無限遠点」とみなす
結局、射影平面はz=1の２次元平面と無限遠点とからなっている
ここで、対蹠点が同一視されるというのは何に相当するかというと、[tex;(\lambda x, \lambda y, \lambda)]であらわされる直線と、 $\lambda ' (-x), \lambda' (-y), \lambda')$ で表される直線が同じ直線であることに相当する
今、[tex;(\lambda x, \lambda y, \lambda)]で表される直線のうち $\lambda \ge 0$ の部分と、 $\lambda ' (-x), \lambda' (-y), \lambda')$ で表される直線のうち $\lambda' \ge 0$ で表される部分をそれぞれ考えることにして、それぞれをz=1,z=-1平面上の点に対応付けるとする
さらに無限遠点に相当する直線たちについても考えると、z=1,z=-1の平面が無限遠で張り合わさっていて、位相的に球面のようにみなせる
ここで、このサンドイッチの対応直線を同一視することは、球面の対蹠点の同一視と同じに見える
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