2014-08-24

卵と栗の射影幾何

射影幾何らせん R

卵や栗の形を３次元空間にある閉じた２次元多様体とみる
この３次元空間にある２次元多様体を、４次元空間にある２次元多様体の射影３次元空間への像とみる
４次元空間にある２次元多様体を４次元空間にある１次元多様体であるところのらせんをある回転軸についてぐるりと回してできる「円筒」とみる
４次元空間のらせんを「２次元分の指数曲線」と「２次元の円周繰り返し」との組み合わせとして作る

# eigenvalues
d <- 0.9
lambdas <- c(d,-1,0+q*1i,0-q*1i )
# A matrix to consist rotations in (x3,x4)-plane
V <- matrix(c(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1i*1,0,0,1,1i*1),4,4)
# t=0での位置を与える
x.init <- rep(1,4)
t <- seq(from=-3,to=3,length=100)

X <- matrix(0,length(t),4)
for(i in 1:4){
	X[,i] <- x.init[i] * exp(lambdas[i]*t)
}
X. <- Re(t(V%*% t(X)))
matplot(X.,type="l")

３次元射影空間の像を作る
- この射影によって、らせんの両端の無限遠点を特定の２点(1,0,0),(-1,0,0)へと写す
- この射影によって、周回成分の２次元はらせんの進行軸の拡縮に応じた拡縮変化以外は受けないようにする
- これを実現するのが、次の変換行列
- 射影前の座標の様子はこう

M <- matrix(c(1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0),byrow=TRUE,4,4)
X.. <- t(M %*% t(X.))
matplot(X..,type="l")

- x4=1射影空間の像は

library(rgl)
Y <- X..[,1:3]/X..[,4]
Z <- rbind(Y,rep(min(Y),3))
Z <- rbind(Y,rep(max(Y),3))
plot3d(Z,type="l")

４次元空間で複数のらせんを作って、「円筒状」にした上で、３次元にした像を描いてみる

# A surface is consisted of mulitple spirals that are made by rotation of the standard spiral in the original 4-dimensional space

phis <- seq(from=0,to=1,length=30)*2*pi
Y.all <- matrix(0,0,3)
for(ii in 1:length(phis)){
	Rot <- matrix(c(cos(phis[ii]),sin(phis[ii]),-sin(phis[ii]),cos(phis[ii])),2,2)
	X.2 <- X.
	X.2[,3:4] <- t(Rot %*% t(X.2[,3:4]))
	X.. <- t(M %*% t(X.2))
	Y <- X..[,1:3]/X..[,4]
	Y.all <- rbind(Y.all,Y)
}
col <- rep(1,length(Y.all[,1]))
minY <- min(Y.all)
maxY <- max(Y.all)
plot3d(rbind(Y.all,rbind(rep(minY,3),rep(maxY,3))),col=c(col,rep(2,2)),type="l")

指数的らせん・対数らせんを射影して球が作れた
パラメタをいじって、球を卵や栗に変化させてみる
- ２つのパラメタをいじる
  - １つは、全体の「太り方」
    - ４次元円筒の太さを変化させる

# A parameter of fatness
# 標準 k <- 1
# k < 0 は「やせ」、k > 0 は「太っている」 
x.init <- rep(1,4)
x.init[3:4] <- x.init[3:4]*k

- - もう１つは、先すぼみの様子で、それは、指数関数的増加をする２軸の指数係数の比
    - qは回転頻度を決める。面の形は変えず、面の上を巻き上がる曲線のピッチが変わる

# kurtosis parameter
d <- 0.75
lambdas <- c(d,-1,0+q*1i,0-q*1i )

- d=1のままで、やせたのを作る

# kurtosis parameter
d <- 1
# A parameter of fatness
k <- 0.5

- k=1に戻して、d=0.8として尖らせる

# kurtosis parameter
d <- 0.8
# A parameter of fatness
k <- 1

- d=0.8のままでk=0.8だと鶏の卵くらい

# A parameter to decide number of visible windings
q <- 5 
# kurtosis parameter
d <- 0.8
# A parameter of fatness
k <- 0.8

lambdas <- c(d,-1,0+q*1i,0-q*1i )
# A matrix to consist rotations in (x3,x4)-plane
V <- matrix(c(1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,-1i*1,0,0,1,1i*1),4,4)
# A projection matrix: Two convergence points are specified at (1,0,0) and (-1,0,0)
M <- matrix(c(1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0),byrow=TRUE,4,4)


x.init <- rep(1,4)
x.init[3:4] <- x.init[3:4]*k
t <- seq(from=-30,to=30,length=5000)

X <- matrix(0,length(t),4)
for(i in 1:4){
	X[,i] <- x.init[i] * exp(lambdas[i]*t)
}

X. <- Re(t(V%*% t(X)))

# A surface is consisted of mulitple spirals that are made by rotation of the standard spiral in the original 4-dimensional space

phis <- seq(from=0,to=1,length=30)*2*pi
Y.all <- matrix(0,0,3)
for(ii in 1:length(phis)){
	Rot <- matrix(c(cos(phis[ii]),sin(phis[ii]),-sin(phis[ii]),cos(phis[ii])),2,2)
	X.2 <- X.
	X.2[,3:4] <- t(Rot %*% t(X.2[,3:4]))
	X.. <- t(M %*% t(X.2))
	Y <- X..[,1:3]/X..[,4]
	Y.all <- rbind(Y.all,Y)
}
col <- rep(1,length(Y.all[,1]))
minY <- min(Y.all)
maxY <- max(Y.all)
plot3d(rbind(Y.all,rbind(rep(minY,3),rep(maxY,3))),col=c(col,rep(2,2)),type="l")

- 栗はこれくらい？

# kurtosis parameter
d <- 0.4
# A parameter of fatness
k <- 1.3