フルネ=セレと射影幾何

  • 複比保存数列とボルツマン方程式と用量反応曲線のことを書いた
  • 曲線が3次元空間で素直な形をしているときにそれを射影幾何的に投影すると…という話に用量反応曲線に用いた最適化関数を使おうとするとパラメタの数がどんどん多くなってちょっと大変であることはわかる
  • 曲線で問題なのは、その座標系によらない(相対的な)形であることから、「曲線表現〜フルネ=セレのような」がよさそうなことはわかる
  • それに関連する記事
    • その1:Projective spline
      • 3次元空間にある、logarithmic spiralという特別ならせんは、\frac{d^3 f(\sigma)}{d\sigma^3} + f(\sigma)=0を満足し、それは射影変換でも変わらずに満足することを利用して、その3次元空間の曲線の座標を同次座標とみなして、射影平面上の曲線とする。そのときに隣接する等間隔3点の2次元座標と、そのうちの1点の、三階の微分とから8個の線形等式を取り出し、それを用いて、3x3行列のうちの1成分は等倍によってキャンセルアウトされるので、残りの8成分を決定的に算出しましょう…という話。logistic spiral はx = \exp{1/2 \sigma} \cos{\sqrt{3}/2 \sigma,y=\exp{1/2 \sigma} \sin{\sqrt{3}/2 \sigma},z= \exp{-\sigma}
    • その2:Projective curvatureと不変量
      • 変換前後の曲線の対応関係を取りたい
      • 変曲点を対応付けるとよい
      • ただし、変曲点は曲線関数の微分であって、射影変換の場合「第7階微分」に依存する
      • 階数が高いと、ノイズ影響が大きくなるので、非現実的...(上の例では、特殊な曲線logarithmic spiralを用いることで三階の微分までにとどめていた)
      • そもそも微分はノイズ影響が大きいので「積分」で表される不変量にするのが良い手
      • ただし、式に表現するのは難し(いらし)く、数値解析的に求める方法を提示する
      • z=\int_{x_0}^{x_1} udx = \int_{t_0}^{t_1}u \frac{dx}{dt}dt,v=\int_{x_0}^{x_1} xu dx,w=\int_{x_0}^{x_1} u^2dxというような導入をすること、それが不変量であること、そのうちの一つがcurvatureであること
        • ここでいうcurvature(曲率、曲りの程度を表す量)とは、n次元多様体をm>n次元空間に配置して、そこでの曲がり具合として評価する(円を二次元平面において、二次元平面における量である曲率半径とかで評価するのがそれ)タイプの曲率(外的曲率)ではなくて、n次元多様体だけを考えて定義される量(内的曲率)のこと
      • Affine変換では、curvatureを式で表したときに分子と分母の両方が独立に不変であるのに対して、射影変換では分数(比)だけが不変であること