ryamadaのコンピュータ・数学メモ

射影幾何での直線とか超平面とか

射影幾何代数幾何射影多様体

こちらでシューベルト多様体とかについて書いている
そもそも、射影区間で斉次１次式の零点集合が超平面になるっていう話を実感していないので、それをべたにメモしておく
簡単のために、n=3次元ベクトル空間に対して定まる、 $P^2$ である射影空間を考える。 $[x_1:x_2:x_3]$ という３つの値の比を対象にする、ということ
今、 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0$ を満足する $[x_1:x_2:x_3]$ は直線である、という。
射影空間ではなくて、ベクトル空間で考えると $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0$ は、 $(x_1,x_2,x_3)$ はベクトル $(a_1,a_2,a_3)$ と直交するベクトル(原点を始点とする)の集合であると言っている。
これを射影空間で考えると、(簡単のために $a_3 \ne 3, x_1 \ne 0$ の場合を取り出せば)、 $\frac{a_1}{a_3} x_1 + \frac{a_2}{a_3} x_2 + x_3 = 0$ となる。
さらに $\frac{a_1}{a_3} + \frac{a_2}{a_3}\frac{ x_2}{x_1} + \frac{x_3}{x_1} = 0$ となり、
$(x_1,x_2,x_3)=(1,z_1,z_2)$ と見て2次元で考えると
$\frac{a_1}{a_3} + \frac{a_2}{a_3}z_1+ z_2= 0$ となり、これは2次元空間の直線の一般的な表現である。
$(a_1,a_2,a_3)$ に直交する原点を通る直線を考えていたときは、直線は直線でも原点を通っていたが、射影空間では一般的な直線になっている。