射影幾何での直線とか超平面とか

  • こちらシューベルト多様体とかについて書いている
  • そもそも、射影区間で斉次1次式の零点集合が超平面になるっていう話を実感していないので、それをべたにメモしておく
  • 簡単のために、n=3次元ベクトル空間に対して定まる、P^2である射影空間を考える。[x_1:x_2:x_3]という3つの値の比を対象にする、ということ
  • 今、a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0を満足する[x_1:x_2:x_3]は直線である、という。
  • 射影空間ではなくて、ベクトル空間で考えるとa_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0は、(x_1,x_2,x_3)はベクトル(a_1,a_2,a_3)と直交するベクトル(原点を始点とする)の集合であると言っている。
  • これを射影空間で考えると、(簡単のためにa_3 \ne  3, x_1 \ne 0の場合を取り出せば)、\frac{a_1}{a_3} x_1 + \frac{a_2}{a_3} x_2 +  x_3 = 0となる。
  • さらに\frac{a_1}{a_3} + \frac{a_2}{a_3}\frac{ x_2}{x_1} +  \frac{x_3}{x_1} = 0となり、
  • (x_1,x_2,x_3)=(1,z_1,z_2)と見て2次元で考えると
  • \frac{a_1}{a_3} + \frac{a_2}{a_3}z_1+  z_2= 0となり、これは2次元空間の直線の一般的な表現である。
  • (a_1,a_2,a_3)に直交する原点を通る直線を考えていたときは、直線は直線でも原点を通っていたが、射影空間では一般的な直線になっている。