ディラックオペレータ〜四元数関数でDEC

• ３次元空間のその「３次元」は四元数の３虚成分と相性がよく、３次元コンピュータグラフィクスなどでも頻用する
• それを３次元中にある２次元曲面多様体のDEC処理に使う、と言う話がある
• まず、四元数関数を用いると、それ自体が複数要素からなっているので、実関数の場合と様相が異なってくる
• たとえば、実スカラー関数に関するgrad,div,curl,laplasianなどでは、スカラー場がベクトル場になって、さらにそれをもう一度オペレーションするとスカラー場に戻ったりするが
• 四元数ではスカラーとベクトルの行ったり来たりをする必要がなくなったりする
• そのことを利用すると、ラプラシアンというオペレータの平方根オペレータのようなものが定義できて、それは四元数関数に働かせると四元数を返し、それにもう一度働かせる、ということが素直に見える。その二回作用させたものがラプラシアンになる、ということを持って「ディラックオペレータ」というのが定義されているらしい
• これを用いると、grad,div,curl,laplasianなどが、外微分記号で単純化したのと、ある意味似た感じで、ディラックオペレータと四元数関数とそれの実部取り出しとか虚部とりだしとかによって、色々なオペレータが定義できる
• これの第３章あたりの話
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• Dはディラックオペレータ、は四元数関数で、実成分と二つのベクトル成分(接ベクトルと法線ベクトル)とにわけられる