ryamadaのコンピュータ・数学メモ

3次元回転行列と四元数

四元数回転行列

単位四元数 $q = \cos{\theta/2} \times \mathbf{1} + \sin{\theta/2} \times (x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k});x^2+y^2+z^2=1$ を用いると、３次元空間のベクトル $v=(v_x,v_y,v_z)$ を軸 $(x,y,z)$ の周りに角$\theta$で回転してできるベクトル $v'=(v_x',v_y',v_z')$ は
$v_x' \mathbf{i} + v_y' \mathbf{j} + v_z' \mathbf{k} = q \times (v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}) \bar{q}$
ただし、 $\bar{q}=conj(q) = \cos{\theta/2} \times \mathbf{1} - \sin{\theta/2} \times (x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k})$ で得られる。
この回転はもちろん、３x３行列でも表せる
今、 $q = A + iB + jC +kD$ とすると、その行列は
$\left( \begin{array}{lll} A^2+B^2-C^2-D^2 & 2(-AD+BC) & 2(AC+BD) \\ 2*(A*D+B*C) & A^2-B^2+C^2-D^2 & 2*(-A*B+C*D) \\ 2*(-A*C+B*D) & 2*(A*B+C*D) & A^2-B^2-C^2+D^2) \end{array} \right )$