曲面メッシュデータの四元数DEC実装のためのメモ - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

３次元空間の点に対して、その法線ベクトル(Nx,Ny,Nz)があるときに、この点に対して、4x2行列 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & Nx\\ 0 & Ny\\ 0 & Nz \end{pmatrix}$ を考え、これを対角成分として並べた、(点の数ｘ４)ｘ(点の数ｘ２）行列をEとする
三角形面について、その面の接平面を張る正規直交基底(二つの三次元ベクトルを(Xx,Xy,Xz),(Yx,Yy,Yz)とし、2x4行列 $\begin{pmatrix} 0 & Xx & Xy & Xz\\ 0 & Yx & Yy & Yz \end{pmatrix}$ を考え、これを対角成分として並べた、（三角形の数ｘ２）ｘ（三角形の数ｘ４）の行列をFとする
また、離散版４元数的Diracオペレータに相当する行列Dは、(面の数）ｘ（点の数）の４元数行列であって、そのij成分は、 $D_{ij} = -\frac{1}{2A_i}e_j$ とする。ただし、 $A_i$ とは面iの面積であり、 $e_j$ は点jの三角形iにおける対辺の値（長さ？）である。ただし、点jが三角形iの頂点でなければ、この値は0である
この行列Dは四元数行列なので、１成分を4x4行列 $\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d\\b & a & -d & c\\ c & d & a & -b\\d & -c & b & a \end{pmatrix}$ と置き換えることで、四元数を表しつつ、成分は（面の数ｘ４）ｘ（点の数ｘ４）の実行列ができる。これをD.とする
ここで、 $FDE$ という行列は、（面の数ｘ４）ｘ（点の数ｘ４）の実行列となる
今、各点に４元数が与えられているとき、その成分４つを点についてタンデムに並べたベクトルVがあれば $FDEV$ という計算ができる。ここで線形代数なので、最小二乗法を適用する、というのが、この「微分幾何」「外積代数」「四元数」のお話らしい
ここで、Vについて曲率がいい感じになるように凹凸変形に適用するか、など、何を考えて最小二乗法を適用するかで、応用対象のバリエーションが出る
この話は四元数でやっているけれど、共形変換のところだけなら、複素数の話になる
それについては次の記事に参考資料を