クリフォード代数

  • 昨日の記事で、四元数フーリエ変換が有用そうであり、そのためにはクリフォード代数というものが出てくることがわかった
  • というわけでクリフォード代数を確認する(こちら)
  • クリフォード代数とは
    • n次元のとき、e_1,...,e_nという、いわゆる正規直交基底の単位ベクトルを基にして、2^n個の要素を、そのべき集合としてとって、その2^n個の要素を基底とする代数のこと
      • それがうまく代数として閉じるために、e_ie_j = - e_je_iという規則と、[tex:e_i e_i=](これが、1だったり−1だったり、するのだが、それは後述)という規則とを入れる(こうすると、e_{i1}e_{i2}...という長ったらしいやつが、短くなって、長ったらしいやつの中にe_{i1}...e_{i1}...のように、同じものが複数回登場することを防げる
    • [tex:e_i e_i = ]が1になったり、−1になったりすると書いた。これを「内積」というのだが、これが普通の内積ではない
      • 普通の内積\sum_{i=1}^n x_i y_iで定義されるのだが、ここでの内積は、[tex:_{p,q}=\sum_{i=1}^p x_i y_i - \sum_{i=p+1}^{p+q=n} x_i y_i]として定める
      • n次元をpとqとに分けて、その2群でプラスマイナスを使い分けている、というわけである
      • 普通の内積はp=n,q=0の場合にあたる
      • このようなn=p+qの分け方に応じて、Cl_{p,q}というクリフォード代数ができる
    • このルールのもと、[tex:uv + vu = -2 _{p,q}]が成り立つことにしてあるのがクリフォード代数
  • ここまでわかったうえで、こちらのExamples 1.1-1.4を読もう