クリフォード代数

• 昨日の記事で、四元数のフーリエ変換が有用そうであり、そのためにはクリフォード代数というものが出てくることがわかった
• というわけでクリフォード代数を確認する(こちら)
• クリフォード代数とは
  • n次元のとき、という、いわゆる正規直交基底の単位ベクトルを基にして、個の要素を、そのべき集合としてとって、その個の要素を基底とする代数のこと
    • それがうまく代数として閉じるために、という規則と、[tex:e_i e_i=](これが、１だったり−１だったり、するのだが、それは後述）という規則とを入れる（こうすると、という長ったらしいやつが、短くなって、長ったらしいやつの中にのように、同じものが複数回登場することを防げる
  • [tex:e_i e_i = ]が１になったり、−１になったりすると書いた。これを「内積」というのだが、これが普通の内積ではない
    • 普通の内積はで定義されるのだが、ここでの内積は、[tex:_{p,q}=\sum_{i=1}^p x_i y_i - \sum_{i=p+1}^{p+q=n} x_i y_i]として定める
    • n次元をpとqとに分けて、その２群でプラスマイナスを使い分けている、というわけである
    • 普通の内積はp=n,q=0の場合にあたる
    • このようなn=p+qの分け方に応じて、というクリフォード代数ができる
  • このルールのもと、[tex:uv + vu = -2 _{p,q}]が成り立つことにしてあるのがクリフォード代数
• ここまでわかったうえで、こちらのExamples 1.1-1.4を読もう