四元数のフーリエ変換

  • 三次元の物体とその動きのシグナルをフーリエ変換でスペクトル分解しようとすると、座標の取り方に依存するのが気持ちがわるい
  • 球体を扱って、球体表面に滑らかな凹凸を入れようとする場合なども球面調和関数の軸非対称性とかが気持ち悪い
  • 四元数で扱うと、実軸と3つの虚軸とに分けられて、3つの虚軸が相互に相対的
  • それをスペクトル分解するには四元数フーリエ変換(quaternion fourier)
  • こちら
  • クリフォード代数
  • Geometric Algebraと関係があるらしい
    • Geometric Algebraってなんだったかと言うと、基底ベクトルのセットの上に、その向きを考慮した組み合わせに対応する基底も取り込んで大きな基底ベクトルセットを作って考える代数系
    • 外積代数とかグラスマンとか、あのあたりの話。共形変換とかが扱いやすくなる(けど、その代数の実装は面倒くさい)
  • Clifford Fourier transformationsっていうのがあって、これはまた、フーリエの次元一般化と関係していて、それと四元数フーリエとも強く関係しているという
  • 四元数フーリエ変換は:
    • 四元数は4係数を持つが、
    • そのうち、実部係数は特別
    • 3つの虚部係数は、相互に関係しあっているので、結局2つの虚部係数が「自由」な虚部
    • 四元数フーリエ変換では、その「自由な虚部、2つ」について、実数二次元ベクトルのそれぞれの成分に関して、exp^{-imx}的な、いわゆるフーリエ変換的処理をしかけてやることで、実数二次元の広がりに対する4元数スペクトルを取り出す、というようなそんな仕組みらしい
  • たとえば、3次元物体の時系列データ〜4次元データの場合には、クリフォード代数で3+1=4に分けることにして、2^4=16要素を取り扱うことにする。そのような四元数代数のフーリエ変換〜3+1クリフォード代数のフーリエ変換というものを、いわゆる普通のフーリエ変換の拡張として定義してやれば、スペクトル分解できるし、逆フーリエもあるから、元に戻せますよ、という話。また、この代数は、右演算・左演算を区別するので、フーリエ変換の定義においても、そのあたりに注意しよう、でも、それ以外は、証明されていることにだけ興味があって、証明自体に興味がなければ、「使えばよい状態ですよ」、とそういうペイパーのようでした