四元数のフーリエ変換
- 三次元の物体とその動きのシグナルをフーリエ変換でスペクトル分解しようとすると、座標の取り方に依存するのが気持ちがわるい
- 球体を扱って、球体表面に滑らかな凹凸を入れようとする場合なども球面調和関数の軸非対称性とかが気持ち悪い
- 四元数で扱うと、実軸と3つの虚軸とに分けられて、3つの虚軸が相互に相対的
- それをスペクトル分解するには四元数フーリエ変換(quaternion fourier)
- こちら
- クリフォード代数
- Geometric Algebraと関係があるらしい
- Clifford Fourier transformationsっていうのがあって、これはまた、フーリエの次元一般化と関係していて、それと四元数フーリエとも強く関係しているという
- クリフォード・ウェーブレットというのもあるらしい
- この本とかは、まさにその関係
- 四元数のフーリエ変換は:
- たとえば、3次元物体の時系列データ〜4次元データの場合には、クリフォード代数で3+1=4に分けることにして、要素を取り扱うことにする。そのような四元数代数のフーリエ変換〜3+1クリフォード代数のフーリエ変換というものを、いわゆる普通のフーリエ変換の拡張として定義してやれば、スペクトル分解できるし、逆フーリエもあるから、元に戻せますよ、という話。また、この代数は、右演算・左演算を区別するので、フーリエ変換の定義においても、そのあたりに注意しよう、でも、それ以外は、証明されていることにだけ興味があって、証明自体に興味がなければ、「使えばよい状態ですよ」、とそういうペイパーのようでした