8 群の調和解析ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

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非可換群のフーリエ解析
- 有限群のそれ
- コンパクトリー群のそれ
- コンパクトでない非可換unimodular群のそれ
とにかく、1次元実軸での畳み込みとフーリエ変換が群の上に定義できることが示された
結論から言うと次のようになる
- まず、1次元実数関数の畳み込みを思い出そう
- $(f_1 * f_2)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\xi) f_2(x-\xi) d \xi$
- ここで、 $x-\xi$ というのは、 $x,\xi$ が含まれる世界での「ずれ」を「引き算」で表したものだが、群論では引き算も「乗算」として表したいので、 $g_1=g(x) = \begin{pmatrix} 1 x \\ 0 1 \end{pmatrix},g_2=g(\xi)=\begin{pmatrix}1 \xi \\ 0 1 \end{pmatrix}$ のように考えることで、 $g(-x) = g^{-1}(x)$ としてしまう
- これにより
- $[(f_1 * f_2)(g_1) = \int_{G} f_1(g_2) f_2(g_2^{-1} \circ g_1) d \mu(g_2)$ とする。ただし、ここでは $d \mu(g_2) = d g_2$
- さて、結論は以下の式になる
  - - ただし、群Gとその要素 $g,h$ には群上の関数 $f_1,f_2$ に関して制約があって、 $\mu(f_i(h \circ g)) = \mu(f_i(g \circ h)) = \mu (f_i(g)); \forall h \in G$ を満たすこと。また $f_i$ は群G全体の積分に関する発散制約があることは、実数直線上の関数の場合と同じ
こう書いてくると、このようにしかできないくらい、素直な一般化に見える
一方、フーリエ変換は、というと
$F(f) = \hat{f}(p) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ipx} dx$ と書けた
ここで $e^{-ipx}$ が回転を表す複素数であることを思い出せば、 $e^{-ipx}$ とは、pで定められた『回転』
それが、群上のフーリエ変換では、ユニタリ行列 $U(\cdot , p)$ のように、pで任意の要素に定米良られる行列とみなす。そしてこの行列が「関数」であるとみなすことで、以下のように書ける
- ここで、畳み込みとの式との対応を考えてみよう。 $U(\cdot , p)$ は関数であるから、 $p$ を $g$ 、 $g$ を $h$ とすれば
- 畳み込みの式が $(f_1 * f_2) (g) = \int_G f_1(h) f_2(h^{-1} \circ g) d(h);g,h \in G$
- フーリエ変換の式が $F(h) = \hat{f}(g) = \int_G f(h) U(h^{-1},g) d(h);g,h \in G$ となる