- 1次元での、微小量は
- パラメタを使うと
- まっすぐでない座標系 curvelinearな座標系ができて
- N次元空間微小体積は
- 円、回転
- 円や回転には三角関数を使う方法もあるが、うまくパラメタ表現をすれば、四則演算で表現できる
- N次元微小体積は計量テンソルの行列式だが、ヤコビアンから計算する方が簡単だったりする
- Gradients, Divergence, LaplacianもCurvelinear coordinatesで定義できる
- トポロジーを考えると、Euler characteristicで点・辺・面の数にルールがあったり、total curvatureの曲面全体の積分が知られていたりする
- 曲面の多面体タイル張り
- 曲面上に取る関数のセットも直交関係になってほしいのでStrum-Liouvilleのときと似たような式になり
- このようにして円周上、球面上での調和解析ができるし、その一つがフーリエ分解の球面版としての球面調和関数分解である。また、フーリエ分解をStrum-Liouvilleで一般化することで出てくるWavelet変換に帰れば、球面上のWavelet変換もできる
- いずれも、対象空間の畳み込み・対象空間のパラメタ表現、この2つの微分積分の話である
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