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4 Orthogonal expansions in curvelinear coordinates ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

非可換 調和解析 フーリエ解析 群論 回転 ぱらぱらめくるシリーズ
  • １次元での、微小量はdL = dx
  • パラメタを使うとdL = \frac{dL}{dt} dt
  • まっすぐでない座標系 curvelinearな座標系ができて(\frac{dL}{dt})^2 = (\frac{d \mathbf{x}}{dt})^T \frac{d\mathbf{x}}{dt} = (J(\mathbf{u}) \frac{d \ma\thbf{u}}{dt})^T (J(\mathbf{u}) \frac{d \mathbf{u}}{dt}) = (\frac{d \mathbf{u}}{dt})^T G(\mathbf{u}) \frac{d \mathbf{u}}{dt}
  • N次元空間微小体積はdx^N = \sqrt{det(G(\mathbf{u}))} du^N
  • 円、回転
    • 円や回転には三角関数を使う方法もあるが、うまくパラメタ表現をすれば、四則演算で表現できる
  • N次元微小体積は計量テンソルの行列式だが、ヤコビアンから計算する方が簡単だったりする
  • Gradients, Divergence, LaplacianもCurvelinear coordinatesで定義できる
  • トポロジーを考えると、Euler characteristicで点・辺・面の数にルールがあったり、total curvatureの曲面全体の積分が知られていたりする
  • 曲面の多面体タイル張り
  • 曲面上に取る関数のセットも直交関係になってほしいのでStrum-Liouvilleのときと似たような式になり
    • \psi_i,\psi_j) = \int_{\Omega} \psi_i(\mathbf{u} \psi_j(\mathbf{u}) \sqrt{\det{G(\mathbf{u})}} du^M = \delta_{ij}
  • このようにして円周上、球面上での調和解析ができるし、その一つがフーリエ分解の球面版としての球面調和関数分解である。また、フーリエ分解をStrum-Liouvilleで一般化することで出てくるWavelet変換に帰れば、球面上のWavelet変換もできる
  • いずれも、対象空間の畳み込み・対象空間のパラメタ表現、この２つの微分積分の話である