1 Introduction and overview of applications ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

順序が結果に影響する処理の例(非可換)
調和解析。可換と非可換
- 基本波の線形結合で表す解析
- それの基礎には、関数が積分できるかとか、滑らかか、とか、無限遠で十分小さいか、などが大事になることが基礎となっている。その性質は可換な場合に構成されたので、それを非可換に拡張する必要がある(あった)
畳み込み、その可換と非可換
- フーリエ解析は $\hat{f}(x) = \int_{-\infty} ^ {\infty} f(\xi) e^{-2\pi i \xi x} d\xi$
- １次元実数軸上で、 $f_1(x)$ を、 $\xi$ だけずらした $f_2(x)$ で畳み込むのは $\hat{h}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(\xi) f_2(x-\xi) d\xi$
- この畳み込みを「合成積」と呼ぶことになっている。 $f_1 \circ f_2 (x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_1(\xi) f_2(x-\xi) d\xi$
- フーリエ変換はこの畳み込み・合成積にとても便利なツールである。フーリエ変換の式も関数の積の積分であり、 $e^{-2\pi i \xi x}$ は周期関数であるから、ある周期についてずらして畳み込んでいる、とも見える
- 非可換加に当たっては、この $\xi$ ずらす、という操作を、『行列の積』として表す。これにより、(1)ずらす操作が積になり、(2)ずらす操作が非可換になる(行列の積は非可換演算だから)
- ちなみに、１次元軸で $\xi$ ずらすのは $\begin{pmatrix} 1 \xi \\ 0 1 \end{pmatrix}$ を掛けること。２次元なら $\begin{pmatrix}1 0 \xi_1 \\ 0 1 \xi_2 \\ 0 0 1 \end{pmatrix}$
- もう少し、畳み込みを言葉で説明しておく
  - 関数 $f_1(x)$ は位置ごとに値を持つ関数。 $f_2(x)$ は空間を $\xi$ で動かしまくる関数で、 $\xi$ を少し動かしたときのその動きの大きさに応じて $f_1(x) f_2(x-\xi)$ を積分するのが畳み込み
  - 上記の位置と動きとの行列表現をこれに適用すればよい