ryamadaのコンピュータ・数学メモ

6 Rigid-body motion ぱらぱらめくる『Engineering applications of noncommutative harmonic analysis』

剛体は回転するが、平行移動もする
３次元行列を４次元行列にして表現できる(同次座標系)
フルネ-セレ、Moving frameもこの章の対象
閉曲線に関する知見：閉じるとは、動き表現的にどういうことか
『数』の工夫(実数・複素数・四元数)の代わりに"Dual numbers"を使う。0ではないけれど二乗すると0になる成分の導入
$(a_1+\epsilon a_2) (b_1+\epsilon b_2) = a_1b_1 + \epsilon(b_1 a_2 + a_1 b_2) + \epsilon^2 a_2 b_2 = a_1b_1 + \epsilon(b_1 a_2 + a_1 b_2); \epsilon^2=0$ と定義する
これは $\begin{pmatrix} a_1 a_2 \\ 0 a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 b_2 \\ 0 b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1b_1 b_1a_2+a_1b_2 \\ 0 a_1b_1 \end{pmatrix}$ に相当している
dual numbersを使う(それを使って行列を作る、四元数を作る)と、同次座標を使わずに剛体運動を表現できる
剛体運動を次元を上げた空間の回転とみなす、という工夫もある
- 剛体運動(回転と平行移動の合成)はSE(3)群(特殊ユークリッド(運動)群)。これをSO(4)群に対応付ける、という話