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• 昨日の記事で幾何代数の概要を確認しなおした
• それを使って５次元空間での線形代数が３次元空間の共形変換を扱うことについて少しずつ整理しよう
• ５次元を３次元に下ろすとき、遊びの２次元がある。いきなり２次元の余裕を使う前に、４次元を３次元に下ろすことを考える
• 射影幾何における同次座標を思い出そう。今、４次元における「直線」が３次元に点としてとらえられ、４次元における面は３次元の直線、４次元における「平らな立体」は３次元における面となる
• ５次元を使うときには、５次元の「直線・平面・平らな立体」を４次元に射影する。この４次元空間の影をそのまま使わず、３次元のパラボラ(放物曲面)でよぎる。それを使えば、点、直線、平面の他、円、球などもみんな５次元の「平らなもの」とできる
• 幾何を扱うときに、「形あるオブジェクト〜点、直線、平面の他、円、球など」がうまく扱えるとよいのはそうだが、もう一つ「変換」がうまく扱えることも大事
• 幾何代数では、複数の要素の幾何積によって表されるもの(Versors)で、変換が扱えることが便利の素
• ４次元からの射影幾何(幾何代数・幾何積と同次座標の活用)では、Versorsで表せる変換は原点回りの回転くらい。これはつらい
• ５次元からのパラボラ経由の射影幾何と幾何代数・幾何積を使うと、Versorsによって、共形変換がすべて表現できる。もちろん共形変換の特殊形である等長変換も。