このトピックは、応用ベースの続編(こちら)にあるように、脳画像や天文学領域、海洋学などの解析に応用されるものであるが、その理論的な基礎を扱った本 Random Fields and Geometry (Springer Monographs in Mathematics)作者: R. J. Adler,Jonathan E. Tay…

昨日の記事で、酔歩という時間発展の系から始めて、fractional brownian motionという、粗滑をパラメタライズした時間発展のシミュレーションでは、時間軸座標上の点について共分散を定めて多変量正規乱数を発生させると、いい感じでシミュレーションできる…

１次元空間で、一定の歩幅での離散時刻酔歩は n <- 1000 x <- cumsum(sample(c(-1,1),replace=TRUE,n)) plot(x,type="l") すべての時刻で、位置の期待値は0で、分散は時刻tに対して、t n <- 1000 n.trial <- 10000 X <- matrix(sample(c(-1,1),replace=TRUE,…

昨日の記事で平面グラフの頂点座標の定め方をやった そこに連立方程式が出てきたが、それは、境界条件を外周頂点座標によって定めた上でのグラフ・ラプラシアン方程式を解く作業であると言える(離散ラプラス・オペレータ,関連論文)

平面グラフは、平面座標上に描ける 三角メッシュは３次元物体の表面をTriangulationしたものなので、その３次元表面が連続ならば、それは平面グラフになる。したがって、その表面は平面に写せる 平面座標は球面座標に変換できる したがって、３次元物体の表…

３次元の閉じた曲面の滑らかな移行とかを考えると、埋め込みとか、Harmonic スペクトル分解とか、いろいろ出てくる 出てきて、何が面倒くさいかというと、いろいろな(3D画像処理とかの)手法があるけれど「これだ！」というのがない(らしい)こと 球面上へのMD…

ここ数日(もしかすると数か月)、ぐちゃぐちゃと「形の移行」について書いてきた N次元空間にあるn次元の閉じた滑らかな多様体があるとする その形を点の座標レコードとして観察する 平滑化する(関数解析で周期関数化) これをn次元基準多様体としての球(円)に…

単位円板を共形変換して任意の閉曲線に囲まれた板に変えることをやっている 凸(曲率が大きい)になるところは、単位円板的に疎に、凹になるところは密に対応づけようとしている 少し、立ち返って考え直そう 今、円板がただの円周の紐であって、内部がカラだと…

正負の無限大の曲率を持つ閉曲線としてハート関数を使ってみる # ハート n <- 100000 t <- seq(from=0,to=1,length=n+1) x <- cos(t*2*pi) y <- (sin(t*2*pi)+(x^2)^(1/3)) x <- x[-1] y <- y[-1] plot(x,y) # 最初の点と最後の点の座標は同じなので、その重…

曲線を観察したとする。曲線上の点を多数観察していて、その順序はわかるが、その順序パラメタは、特に弧長などとの整合性はない(のが普通) 曲線を関数解析などしてパラメタ・関数表示をしたところで、その弧長関数は単純な関数表示にはならないのであるから…

circle packingについてこちらに書いた 閉曲線を単位円板に共形変換するとき、閉曲線で曲率が小さいところは単位円板では密に、大きいところは疎に対応するのだった 今、単位円周に密度分布を入れて、それが滑らかな関数であるとする その密度分布を累積する…

曲率っていうのがある 平面上の曲線での曲率を考えよう 曲線の中で一番単純な円を考えよう 円は、円周上のすべての点で、曲率が等しい それをaとおけば、曲率半径はである 曲率っていうのは、曲線上の点における、接ベクトルを考え、その接ベクトルの単位ベ…

前の記事では、多項式近似をしたけれど、別に多項式でなくてもよいのだから、結局、をに移せばよい(は単調増加関数で、を満足する)とすれば、がその関数 逆にいうと、これが、多項式近似に用いた点の数を無限大にしたときの極限(？)

昨日の記事で、共形変換による閉領域の単位円板対応では、外周の曲率を対応点の粗密にするとよいのでは、ということになった さて 単位円板を単位円板に移しつつ、その外周粗密を変えるときの変換はどうするか？ 外周は「ふりふり」になる様子が見える。これ…

Circle packingというのがある。同じ単語で異なる複数の概念に対応するようなので、注意が必要だが、ここでは共形変換とのからみで使うそれを扱う 具体的には、このPDFにあるようなそれのこと 共形変換では「角保存」するわけだけれど、それは「直角は直角」…

共形変換でがに移るとき、「ジャンプ」する、という考え方もあるだろうけれど、連続的に変形して、結果としてに移る、ということもありだろう 今、という変換だとしたときに、という風にすると、連続的に動かせる が、の方が素直だろうか→実際、項ごとの和に…

多様体がある 多様体は、ただ、「ぼかっ」と「形」として存在していると、それまでだけれど、そこに、「座標」を入れると、とたんに、２つの多様体の間の対応付けに、やりがいが出てくる 多様体が二次元のとき、「座標」として複素数を入れてやると、「ぼか…

昨日は共形変換の基本パーツについて図示して確認した 変換で回りすぎて重なるというようなことのない領域での変形データが得られたときに、その変換関数を推定する、ということを考えてみる という変換とする 係数推定なので、n個の複素数〜2n個の実数の推…

昨日は共形変換によって形の異同をノルムに変える話だった 「形」〜「輪郭」だけだと、リーマンの写像定理から、「すべての輪郭は単位円に共形変換できる」ので、「共形変換」が作る距離空間(測度空間)で話をすることになるようだ この場合には、「単位円」…

昨日までの記事で、共形変換についてメモをした というのも、形について解析がしたいから こちらのPDFは共形変換を用いた形解析そのものに関するもの。読んでみよう 大まかに言うと(アブストラクトによると) 二次元平面の「形」っていうのは、滑らかな曲線で…

昨日、共形変換とそれを定義づけるに際して出てくる複素関数の諸用語についてメモをした その中で、複素平面全域で微分可能な複素関数は級数展開できること、そのような関数は正則であることを書き、正則関数は共形変換を定めるし、正則関数を分母分子にする…

１変数(複素数)の複素関数を考える 台は複素平面(実数の二次元平面に見立てることができる) 関数の値は複素数。複素数は虚実の二成分からなるから、二次元平面上に二次元ベクトルが置いてあるようなものが得られる 二次元の台に二次元の値が乗っているので、…

# R-superbasic seminar 2014 10/27/2014- ## 1 (10/27/2014) - RのインストールとRのアップデートができるようになる - Install and update of R - Rコマンドの基礎としてベクトルを作成し、それを表示する - The most basic command to make a vector and …

SLE曲線では実軸上の関数を駆動関数として、複素数を変換する共形変換になる微分方程式を立てている 今、ある時刻tになる値を駆動関数が取っているとする。によって曲線の先端が、実軸上の点(Ut,0)に共形変換されている。 ではこの微分方程式はどうなってい…

ブラウン運動を含む曲線のことをやっている 確率微分方程式になっている。ブラウン運動とそうでない運動とにわけて式を書く マルチンゲールである、と言う。次に何が起きるかの期待値は、今の値であること。それは観察を積み重ねても変わらないこと。増分の…