ぱらぱらめくる『Random Fields and Geometry』

• このトピックは、応用ベースの続編(こちら)にあるように、脳画像や天文学領域、海洋学などの解析に応用されるものであるが、その理論的な基礎を扱った本

Random Fields and Geometry (Springer Monographs in Mathematics)

• Preface 何が、どういう構成で書いてあるか
  • 最終目標は、画像データなど、ランダム性が現れる多次元データのデータマイニングをすることで、そのための道具立てを理解すること
  • ３パート構成
    • 1 Gaussian Processes と Random Fields
    • 2 Differential Geometry and Integral Geometry
    • 3 Random Fields の Geometry
  • 1 Gaussian Processes と Random Fields
    • Random Fieldsの基礎
    • 必ずしも、書いてあること全部が第３パートに必要なわけではない。
    • Stationarity(定常)は大事
  • 2 Geometry
    • 大きく２つの目的
      • Critical point (微分しにくい・できない点を扱う) theory of Marston Morse in the framework of Whitney stratified manifolds
      • Lipschitz-Killing curvatures (積分) in the setting of Whitney stratified manifolds: Tube formulasの理解のため
  • 3 Geometry of Random Fields
    • 滑らかな空間に滑らかなベクトル場(これがRandom Fields)が存在しているときに、それを「等高線」で切り取ったものが、"excursion sets"
    • このexcursion setsがは「形」を持っているが、これを幾何的に取り扱うという話
      • Lipschitz-Killing curvature,Riemannian metric, Minkowski-like functional Gauss measureとかで定義される式に集約される、という
      • そして、Rice's formulaによって、excursion setsをなす「等高線」が何回Random fieldsをよぎるかの期待値の算出ができれば点推定・区間推定ができたことになるということが示される、という
    • このexcursion setsというのは、本の表紙に現れている２つの絵でわかる。１つ目の絵は、２次元空間に値が作る山並がの様子。２つ目の絵は、それをある等高線で切り取ったexcursion setの図。２次元空間も山並も滑らかだけれど、切り取られたexcursion setは滑らかなところとそうでないところがある。このexcursion setの形やら面積やらを扱いましょうという話
• 結局、prefaceを読んだら、『だいたいわかった！』ようだ。prefaceの最後にも、「理論抜きで応用したければ、応用編へゴー」と書いてあるので、応用編に行ってみよう→こちら