形状移行…ただのメモ

• ここ数日(もしかすると数か月)、ぐちゃぐちゃと「形の移行」について書いてきた
• N次元空間にあるn次元の閉じた滑らかな多様体があるとする
• その形を点の座標レコードとして観察する
• 平滑化する(関数解析で周期関数化)
• これをn次元基準多様体としての球(円)に写す
• 写すにあたって、(もっとも基本的なのは)n次元多様体の測度(弧長など)の割合を維持する写像
• 有限観測点での測度として三角形分割を持ち出し、「平べったい測度」にするか、あくまで丸みを帯びさせるかは、未定(次元が上がると、両者の差が大きくなりそう)
• 球の対応点へ移す変換をそこそこの複雑さで実現する(共形変換なら、２次くらいまでか)。そこでは、線形回帰的な方法で実現する
• 対応する球は回転できるので、「もっとも変換したときの軌道距離が短いような球」を最適化で探す
• 以上によって、「ルールにのっとって一意な変換」ができる
• 別の多様体にも同じく一意な変換ができる
• ２つの多様体間の変換は、一つ目の変換と、二つ目の変換の逆写像との合成とする