私のための微分幾何の周辺
- キーワードに挙げた諸単語がなんだかごちゃごちゃしていて落ち着かない
- わかる範囲で整理する
- 参考サイトは、
- この微分形式。こちらもいろいろな資料へのリンクがあってよい
- このDiscrete Exterior Calculus
- 誤解していそうだけれど、とにかく、定着させないと間違っているかどうかも分からないので、書き留める
- 基本はなんらかの空間があること
- 「空間」は何からできているかというと
- 「つながっていて」「広がっている」のかどうかということ、や
- 「次元」がいくつか、ということが気になるが
- そういうものを考えると、「つながっていない」とか「一様にひとがっていない」とかいう可能性を気にしたり
- 「次元」は非負の整数であるのがよいけれど、それ以外はどう？みたいな話もでてくるし
- 空間の広がりや、空間の次元の他に、「空間の中にあるもの」の広がりや次元はどうか、ということを気にしたりする
- その「空間の中にあるもの」が多様体だけれど、いったんそう考えると、「そもそも多様体とは」とか、その「多様体を考えるうえで適切・有用な特性」は何？みたいなことが出てきたり
- 多様体の定義はできたとして、それを表現するには、「関数」を作ったり、「単体的複体」で離散化したりするのはどう、というようなことが出てくる
- 「関数」が出てきたけれど、ついつい、「座標」がほしいよね、となる。「普通」はユークリッド空間にデカルト座標だけど、「そもそもの幾何」は座標に非依存だから、という話も、かなり「微分幾何」の中心的な位置を占める
- さて、「幾何」で気になるのは「長さ・面積・体積…」のようなスカラー量だったり、流れや勾配のようなベクトルのようなものもある…。はて、「スカラー・ベクトル・さらにその上…」のこの「気になるもの」って一般的に何なの、という方向がある
- 外積が出てきて、それをよく考えると、
個の要素が出て、それで閉じた世界があるよ、その閉じた世界は、0,1,2,...,n次とn+1層に分かれた世界だよ、となっている
- この閉じた世界であるので、そこでぐるぐる回る代数が出てきて、それが外積代数
- その外積代数の世界は二項定理的対称性があるので、双対が定義されてくる
- 流れや勾配は関数の世界では「微分」だけれど、同様に、面積の計算・体積の計算は「積分」だった
- 「積分」のための微量要素を考えることから、0,1,2,...段階に応じた微分形式が定められる
- その0,1,2...と、外積代数の0,1,2...次との対応から、微分形式と外積代数は対応関係をとる
- また、スカラー量が幾何では大事だけれど、それは、単に「微分」していると、「方向別」に分かれてしまって収拾がつかないので、方向別に微量を考えはするけれど、最後にスカラーにまとめましょうというのが「全微分」で、外積代数が表している「微小量」にも同様に、一括にしてスカラー化しましょうというものを作ってやることにした、それが「外微分」
- じゃあ、離散版ってどうなるの？
- まず多様体が単体的複体にできる
- 単体的複体は幾何的には、三角形の一般化である単体とそれを集めた複体、である
- 抽象的には、0,1,2...,n次の層構造をしていて、その隣接する層の間に半順序があるようなものであって、そこに加群演算を置いてみると、写像・カーネルなどを使って関係が定義できる。それが抽象的な複体
- その「加群」はどうやって作っているかというと、各層の基本要素である単体の集合があって、それの整数係数加群を置いている、というそんなもの
- この層がチェイン群、ある層の要素がチェイン
- また、単体の周辺と言うものが次元の一つ下がった単体である、というところから、うまいこと、単体を一次限低い単体の±和で表すとうまいこと写像が定義できるが、そこに外積代数との親和性、微分形式との親和性を見出したのが、離散外積代数。いわゆる微分もあれば全微分・外微分に相当するものもある
- この離散版には、外積代数の双対性・単体的複体の双対性から、双対の話がしっかり出てくる。その双対を使った演算がとてもきれいに行くのも特徴
- ドロネー三角化とボロノイ図との双対関係もここに出てくる
- また、単体的複体を分割するにあたって、単体をバリセントリック座標系で分割するか、単体頂点を乗せた多次元球の中心座標を使って分割するか、という二方法が出てきたりするが、そのあたりは、抽象的複体を多次元実数空間に埋め込んで扱うという話への橋渡しで、代数と幾何の接点のような意味がある
- 用語メモ
