2014-01-08

多項式環

巡回群双対双対群フーリエ変換多項式多項式環

「体」の話だけれど「多項式『環』」という表題。体と環は違うけれど、「どっちは何で、こっちはこう」とわかったつもりで、自由に行き来してもよい範囲なら、ま、いいから加減に書いても「正しくわかっているひと」は大丈夫だし、「よくわかっていない人は違いを云々しても疲れるだけ」という、ものすごく大雑把な綴り方とする。〜「違いがわかる人は間違いがなんだかわかるし、違いのわからない人は、そこを無視して流れに乗っている方がお気楽」とでも言いかえる「いい加減編」。
巡回群のフーリエ変換の話を進めるために双対群について扱ったが、さらに多項式環についても見ておく必要がある(らしい)
多項式というのは、 $\sum_{i=0}^d a_i X^i$ と表される式のこと。ここで $a_i$ は係数と呼ぶが、係数を何にとるかは色々と変えられる(整数、有理数、実数、複素数…)。
多項式環というのは、 $F[X]$ と表記するのだが、これは、Fという体(整数だったり有理数だったり…)に『変数X』を付け加えたもの、という意味である。「付け加える」ことを「拡大する」と言い換えれば、「体を拡大した」とも言う。
どうしてこれが「多項式環」なのか、というと、係数にFを持ってきて、変数のべき $X^0,X^1,...$ との線形和を取ったものっていうのは、結局、すべてのFの要素とXとを自由に掛けたり足したりしてできるすべて、ということで、それが「体」だから
なので $F[X]$ と見たら、「多項式環」なんだ、と思えばよい(ただし、環の条件を満足していることは確認しないと…)。
そんな多項式の集まり $F[X]$ は、 $F$ に $X$ を加えたもの。
一方、実数が作る計算の世界は「実数体」。それに虚数記号iを加えたものが「複素数体」。こちらも何か一つを加えています。
ここをつなぐものは何か、という話。
『多項式の集まり』を「加えた要素(ここでは虚数記号)」と密接な関係のある多項式で制約した何かを、多項式の言葉で言うと、 $F[X]$ をその制約する多項式の商(quotient)として定義した、quotient ring、と言いましょう、と言うらしい。
虚数記号と密接な関係にある多項式とは $X^2+1(=0)$ ですが、 $\frac{F[X]}{(X^2+1)}$ と書いたものがそれ。
じゃあ、虚数記号は「特別」で、これしかやりようがないのか、というと、一般化が好きな数学でそんなわけはない。
じゃあ、どうなるの？となって、巡回群と出会う話が、以下の話。
ここで商を取る多項式には、制限があって、「多項式の世界の素数」のような多項式でないといけませんよ、というのが"irreducible"と表現される。
巡回群では、歯車が回って $d$ 回の手順で元に戻る、という基準があるから、 $exp^{2\pi i X/d}$ で表される複素数が大事。この複素数には対応する多項式がある。その多項式で多項式全体の商をとることは、その複素数を足して「拡大する」ことである。
巡回群とそれを支える複素数(回転１回分に相当する複素数)に対応する多項式は「円分多項式 cyclotomic polynomial」と言う。この円分多項式というのは、d回、回って元に戻る、ということなので $X^d=1$ もしくは $X^d-1=0$ が対応する。
この円分多項式には素数が関わってくる。なぜかと言うと、d回、回って元に戻る、と言う場合に、たとえばd=12だとすると、2回、回って戻るときの円周上の点は、d=2のときにすでに考慮してあり、3回、回って戻る時も同様・・・というように、「目新しい」ものが出てこないようにしたい、という「気持ち」があり、それを表そうとしたのが円分多項式だからである。その性質を使うと、逆に、 $X^d-1=0$ をirreducible な整数係数多項式の積に分解することができて、その個々の多項式が円分多項式
さて、 $F[X]$ はXの多項式であった。このXの代わりに巡回行列Kを入れても、線形計算に支障はないから、 $F[K]$ とする。ではこれに対応して、 $K^d-1=0$ という式が成り立つから、それの商をとることもできて、その環というのは $F$ に"複素数"を加えたものである、というのは、上述のアナロジー
このように進むと、巡回群、その行列表現、その行列の作る演算世界、というのが、無駄に広い部分がなく、過不足ない演算世界として定義できる。そうすると、その上で「フーリエ変換〜級数分解」をしてやりましょう、という話が「式」扱いになってきますよ、というそういうかたちで文書は進んで行きます。