曲線を表す関数を作る

• ２次元平面に線画があるとする。一筆描きでもよいし、線の本数は複数のこともあるだろう
• そんな線画を表す関数を作りたいとする。一つの関数にしたいという
• 線に沿って、x座標とy座標とを離散的にサンプリングしてやれば、媒介変数で結びつけられた２つの関数（らしきもの）からの離散的標本が得られるだろう
• 線が複数のときには、そこでx,yの値が階段状に変化すると見る
• これを扱いやすい関数にするには、階段関数の部分も含めてフーリエ変換してやればよい
• ２次元に限らず３次元でもさらに高次元でも同じこと
• そんなフーリエ変換をするには、階段関数のフーリエ変換ができないといけない
• 階段関数は、一般的にヘビィサイド階段関数(wiki)として扱おう。不連続なところの値を0にするか、1/2にするかなどでバリエーションが出る。値をとらせないこともできる
• このヘビィサイドの階段関数は、超関数であるディラックのデルタ関数を確率密度関数とみたときのの累積分布関数(積分)になっていることについてはこちらやこちらを。
• Mathematicaがこちらやこちらのような関数を作れます、とアピールしているのは、階段関数を含めたフーリエ変換ができますよ、ということや、この絵の関数で使用している符号関数sgn()の返り値の平方根(虚数単位)を扱えますよ、ということなのだろう。