多因子の作る単体的複体とスペクトル分解

• 昨日の記事で正単体の頂点を巡る「回転」運動のことを書いた
• 出来上がる「『三角』関数」は周期関数で、頂点数の関数が相互に「頂点数対称」になっている
• これを実データから読み取るときは、それほど苦労せず、個々の要素の周期性をスペクトル分解(フーリエ変換)して、その結果を多因子について総合的に重みづけする(こちら)ことでそれなりに読み出せる(はず)
• じゃあ、その先は何が…
• 読みだされるのは、ある要因の組が同周期数で変化している(らしい)という情報(その情報からさらに周期変化の「波形(位相ずれを含む)」を取り出しそこにどんな相互関係があるかを検討するのも楽しいはず。また、同周期数であることの検出だけでは、因子の組み合わせしか抽出できていないが、因子の順列を取り出すには、複数の因子の情報を一括して周期数解析する必要があって、そのためには「多変量の三角関数」で畳み込む必要はありそうだ。そのときは、順序ごとに外積・トルクをとってその和で順序に序列を入れたりすることになりそうだ。トルクの計算、その総和の検討にはデターミナント(行列式)やらパーマネントを使うのかもしれない)
• それ以外に、多因子の集合の中に、同周波数変化で結びつけられた因子部分集合がいくつか見つかる
• この部分集合にスペクトルの強さで重みをつければ、単体的複体ができる
• 今、この単体的複体が時間変化するとか空間変化するとか言う情報が得られたとしよう。たとえば分子ネットワークの時間対性データであり、分子ネットワークの細胞別分布データのようなものである
• もっと一般化すれば、グラフ化されたデータの時間変化・空間変化のこと
• グラフなので、行列表現を追いかけるなら、グラフのスペクトル解析の一系列になるだろう(こちら)
• グラフを複体と見れば、複体のスペクトル解析となるだろう
• グラフのスペクトル解析(統計量を取り出して、その統計量が微分可能な関数を作り、それに基づいてさらにスペクトル分解したり…)というのも面白そうだが
• 複体のスペクトル解析では、すぐには「グラフな離散情報の連続」を「統計量の連続情報」に化かさないで、もうしばらく「離散」なままで扱って有限群的にやって見られない？というスタンスを取ろうとしているのではないだろうか…。まださっぱり見通せないのだが…